初中数学竞赛精品标准教程及练习24：连续正整数的性质

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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（24）连续正整数的性质一、内容提要一.两个连续正整数1.两个连续正整数一定是互质的，其商是既约分数。2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如3＝1＋2，79＝39＋40，　111＝55＋56。二.计算连续正整数的个数　例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是　99999－10000＋1＝90000（个）1.n位数的个数一般可表示为　9×10

2、n-1(n为正整数，100＝1)例如一位正整数从1到9共9个（9×100），二位数从10到99共90个　（9×101）三位数从100到999共900个（9×102）……2.连续正整数从n到m的个数是　m－n+1　把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：3.　从13到49的连续奇数的个数是＋1＝19从13到49的连续偶数的个数是＋1＝184.从13到49能被3整除的正整数的个数是＋1＝12从13到49的正整数中除以3余1的个数是＋1＝13你能从中找到计算规律吗？三.计算连续正

3、整数的和1.1＋2＋3＋……＋n＝（1＋n）　（n是正整数）　连续正整数从a到b的和　记作(a+b)把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下：2.11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×＝759　（∵从11到55有奇数＋1＝23个）3.11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×＝480　（∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共＋1＝15）四.计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和41.123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）＝9×5＝4

4、52.1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），（2，97）…（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901五.连续正整数的积从1开始的n个正整数的积1×2×3×…×n记作n！，读作n的阶乘1.n个连续正整数的积能被n！整除，如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除；a（a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。2.n！含某因质数的个数。举例如下：①1×2×3×…×10的积中

5、含质因数2的个数共8个其中2，4，6，8，10都含质因数2　　暂各计1个，共5个其中4＝22　　　　含两个质因数2　　增加了1个其中8＝23　　　　含三个质因数2　　再增加2个②1×2×3×…×130的积中含质因数5的个数的计算法5，10，15，…125，130　均含质因数5　暂各计1个，共26个其中25，50，75，100均含52有两个5　各加1个，　　共4个其中125＝53　　　　　　含三个5　　　　　　　　　　　再增加2个∴积中含质因数5的个数是32二、例题例1.写出和等于100的连续正整数解：∵100＝

6、2×50＝4×25＝5×20＝10×10　其中2个50和10个10都不能写成连续正整数而4个25：12＋13，11＋14，10＋15，9＋16　得第一组连续正整数9，10，11，12，13，14，15，16。5个20可由20，19＋21，18＋22得第二组连续正整数18，19，20，21，22。例2.一本书共1990页用0到9十个数码给每一页编号共要多少个数码？解：页数编码中，一位数1到9共9个　两位数10－99，共90个，用数码90×2＝180个三位数100－999，共900个，用数码900×3＝2700个四

7、位数1000－1990，共991个，用数码991×4＝3964个∴共用数码9＋180＋2700＋3964＝6853例3.用连续正整数1到100这100个数顺次连接成的正整数：　1234……99100。问：①它是一个几位数？②它的各位上的数字和是多少？③如果从这个数中划去100个数字，使剩下的数尽可能地大，那么剩下的数的前十位数是多少？解：①这个数的位数=9×1+90×2+3=192②各位上的数字和=18×50+1=901(见上页第四点)③划去100个数，从最高位开始并留下所有的9：包括1――8，10――18，1

8、9中的1，20――28，29中的2，……4，50到56这里共有8＋19＋19＋19＋19＋14＝98个，再划去57，58中的两个5，剩下的数的前十位是9999978596。例3.算术平方根的整数部分等于11的连续正整数共有几个？解：∵＝11，＝12∴算术平方根的整数部分等于11的正整数x是112≤x<122;∴符合条件的连续正整数是121，122，123，…，143。共23个。例5.已