初中数学竞赛精品标准教程及练习70：正整数简单性质的复习

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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(70)正整数简单性质的复习一.连续正整数一.n位数的个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×102个，那么n位数的个数共__________.(n是正整数)练习：1.一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码＿＿＿个.2.　由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数；　　　　　　　　　　　　100110021003……19881989是_______位数.3.除以3

2、余1的两位数有____个，三位数有____个，n位数有_______个.4.从1到100的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个；从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个.二.连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×.把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m有同余数的连续数的和.练习：5.计算2+4+6+……+100=__________.6.1+3+5+……+99=____________.7.5+10+15+……+100=_________.8

3、.1+4+7+……+100=____________.9.1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______10.和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________.11.和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________.三.由连续正整数连写的整数，各位上的数字和整数123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45；1234…99100各位数字和是(0+9

4、9)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901.练习：12.整数1234……9991000各位上的数字和是_____________.13.把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止：这个数用9除的余数是__________.14.由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中：①它是一个________位数；②它的各位上的数字和等于________；③从这一数中划去100个数字，使剩下的数尽可能大，那么剩下的数的前十位是_______________

5、____________.四.连续正整数的积：①1×2×3×…×n记作n!读作n的阶乘.②n个连续正整数的积能被n!整除.如：2!

6、a(a+1),3!

7、a(a+1)(a+2),n!

8、a(a+1)(a+2)…(a+n－1).a为整数.③n!中含有质因数m的个数是++…+.12[x]表示不大于x的最大正整数，i=1,2,3…mi≤n如：1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：=3+1=4练习：15.在100!的积中，含质因数5的个数是：____16.一串数1，4，7，10，……，697，70

9、0相乘的积中，末尾共有零_______个　　　　　　17.求证：10494

10、1989!18.求证：4!

11、a(a2－1)(a+2)a为整数五.两个连续正整数必互质练习：19.如果n+1个正整数都小于2n,那么必有两个是互质数，试证之.二.正整数十进制的表示法一.n+1位的正整数记作：an×10n+an－1×10n－1+……+a1×10+a0其中n是正整数，且0≤ai≤9(i=1,2,3,…n)的整数,最高位an≠0.例如：54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.例题：从12到

12、33共22个正整数连写成A=121314…3233.试证：A能被99整除.证明：A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.∵100的任何次幂除以9的余数都是1，即100n=(99+1)n≡1(mod9)∴A=99k+12+13+14+……+31+32+33(k为正整数)=99k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23)=99k+45×11=99

13、k+99×5.∴A能被99整除.练习：20.把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除二.常见的一些特例=10n－1,=(10n－1),(10n－1).例题：试证明12，1122，111222，11112222，……这些数中的任何一个，都是两个相邻的正整数的积.证明：第n个数是=×10n+=(10n+2)==12=×.证毕.练习：21.化简×+1=_______________________________.22.化简=______________