实验六 常微分方程(组)求解

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1、常微分方程（组）求解【实验目的】1．求微分方程的符号解。2．求微分方程的数值解。【实验相关知识】(一)微分方程的符号解.微分方程的符号解也叫做解析解.求微分方程（组）的符号解用命令dsolve.命令格式如下：s=dsolve('方程1','方程2','…','初始条件1','初始条件2','…','自变量')说明：用字符串表示方程，自变量缺省则默认为t.导数用D表示,2阶导数用D2表示,以此类推。返回值s是符号解.例1.求初值问题的解。dsolve命令格式是：>>dsolve('Dy=y*t/(t-5)','y(0

2、)=2')ans=-2/3125*exp(t)*(t-5)^5或者s=dsolve('Dy=y*t/(t-5)','y(0)=2')s=-2/3125*exp(t)*(t-5)^5二阶或更高阶方程的处理情况相类似。例如：,y(0)=-1,y'(0)=2写成如下的形式输入MATLAB：>>dsolve('D2y-y=0','y(0)=-1','Dy(0)=2')ans=-3/2*exp(-t)+1/2*exp(t)例2:求满足初始条件的符号解.写成如下的形式输入MATLAB：s=dsolve('D2y=sin(2*x

3、)-y','y(0)=0','Dy(0)=1','x')simplify(s)%如果得到符号解比较复杂,可以试试化简pretty(s)%显示漂亮的形式。大家得到的结果是什么呢？(二)微分方程的数值解.一般说来,只有对一些典型的常微分方程,才能求出它们的一般解.然而在实际问题中遇到的常微分方程往往很复杂,在许多情况下得不出一般解.所以一般是要求在若干点的近似数值解.求数值解的命令如下:[xout,yout]=ode45('equation',[x0,xm],y0)说明：(1)返回值中，xout表示自变量的取值点(x0

4、,x1,…,xn)',yout表示数值解,它是一个矩阵,它的每一列对应y的一个分量。(2)这里'equation'必须是事先定义的表示微分方程(组)的M-文件。(3)[x0,xm]是自变量的区间。(4)y0是初始向量值。(5)ode45还可以换成其他算法,如ode23.注意:命令ode45或ode23是对一阶常微分方程(组)设计的,因此对高阶常微分方程,需将它转化为一阶常微分方程组.例如对二阶常微分方程,通过令得到一阶常微分方方程组.在求数值解时,我们往往将数值解与画图结合,将数值解用图像呈现出来.例3:求解微分方

5、程组先定义M-文件fun1.m。functionx=fun1(t,y)x=[y(1)*y(2)-0.3*y(1),-y(1)*y(2)]';然后ts=[0,50];%写成ts=0:50也行y0=[0.02,0.98];%表示初始值[t,y]=ode45('fun1',ts,y0);plot(t,y(:,1),t,y(:,2))%根据x的第一、二列同时作两条曲线grid%为了观察方便,可添上网格线.例4:求解微分方程.先求符号解,再求数值解,并作图进行比较.s=dsolve('Dy=-y+t+1','y(0)=1',

6、't')simplify(s)可得符号解为y=t+exp(-t).为了求数值解,先编写M-文件fun.mfunctionf=fun2(t,y)f=-y+t+1;保存，再运行如下命令:cleart=0:0.02:1;y=t+exp(-t);plot(t,y)%画符号解的图形holdon%保留已画好的图形,[t,y]=ode45('fun2',[0,1],1);plot(t,y,'ro');%画数值解图形,用红色小圆圈xlabel('t'),ylabel('y')%标上各坐标名称运行结果见下图,可见符号解和数值解吻合得

7、很好.作业：问题1：求满足初始条件的符号解。问题2：解微分方程组初值问题：试画出其相图。.问题3：求解微分方程先求符号解,再求数值解,并将符号解和数值解的图形进行比较.