行列式的多种计算方法

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1、例文一：行列式的计算方法介绍7种常用方法1三角化方法：通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式.例1计算n+1阶行列式2把某一行（列）尽可能化为零例2计算：3递归法（数学归纳法）：设法找出Dn和低级行列式间的关系，然后进行递归.19例文一：行列式的计算方法介绍7种常用方法1三角化方法：通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式.例1计算n+1阶行列式2把某一行（列）尽可能化为零例2计算：3递归法（数学归纳法）：设法找出Dn和低级行列式间的关系，然后进行递归.19例4证明：例5证明范德蒙行列式（n³2）4加边法：对行列式Dn添上一适当行和列，构成行列式D

2、n+1，且Dn+1=Dn例6证明：195拆分法：将行列式表为行列式的和的方法.即如果行列式的某行（或列）元素均为两项和，则可拆分为两个行列式之和例7设abcd=1,求证：6利用行列式的乘积：为求一个行列式D的值，有时可再乘上一个适当的行列式D；或把D拆分为两个行列式的积.例8（1）19（2）设Sk=l1k+l2k+¼+lnk(k=1,2…),求证：7利用拉普拉斯定理求行列式的值.拉普拉斯定理是行列式按某一行（或列）展开定理的推广.定义(1)在n阶行列式D中，任取k行k列(1£k£n),位于这k行k列交叉处的k2个元素按原来的相对位置组成的k阶行列式S

3、，称为D的一个k阶子式.如：D=则D的一个2阶子式为：S=19在一个n阶行列式中，任取k行，由此产生的k阶子式有个.(2)设S为D的一个k阶子式，划去S所在的k行k列，余下的元素按原来的相对位置组成的n-k阶行列式M称为S的余子式.又设S的各行位于D中的第i1,i2…ik行，S的各列位于D中的第j1,j2…jk列，称A=(-1)(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)M.如：则D的一个2阶子式为：S=M=为S的2阶子式M=（-1）（1+3）+（1+3）为S的代数余子式.19拉普拉斯定理:若在行列式D中任取k行(1£k£n-1)，则由这k行所

4、对应的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积等于D.例9计算例10块三角行列式的计算设：或则：detA=(detB)(detC).特别地：若A=diag(A1,A2,…,At),则DetA=(detA1)(detA2)…(detAt).例11设分块矩阵，其中0为零阵，B和D可逆，求A-1.19例12计算例13设：,BCT=0.证明：

5、AAT

6、=

7、BBT

8、

9、CCT

10、.例文2：行列式的多种计算方法行列式是线性代数的一个重要组成部分，行列式的计算方法多种多样，常见的几种行列式的方法有：定义法、三角化法、降阶法、升阶法、递推法、归纳法、利用范德蒙德行列式法、变

11、换元素法、拆项法、分解乘积法等，可根据行列式选择相应的计算方法，从而减轻计算量.1定义法：n阶行列式等于所有取自不同列的n个元素的乘积的代数和．19例1：解：在n！项中只有一项2三角化法：通过变换将行列式变换成三角行列式，再利用形式求出行列式的值.2.1特殊行列式2.2箭形行列式例2解：2.3可化为箭形的行列式193降阶法降阶法是利用行列式按其行（列）展开的性质，将高阶行列式转化为低阶行列式进行计算4升阶法将原行列式增加一行一列，而保持原行列式值不变或与原行列式有某种巧妙的关系，且便于后面的计算195递推法：利用行列式的性质，找出所求行列式与其相应的

12、n-1,n阶行列式之间的递推关系，再根据次递推关系式求出所给行列式的值196数学归纳法：先利用不完全归纳法寻找行列式之间的规律，得出一般性结论，再用数学归纳法证明其正确性，从而得出所给行列式的值于是又归纳假设得：故对一切自然数n猜得正确，即197利用范德蒙行列式的结果计算：是将原行列式利用性质化成范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算出原行列式例8n阶范德蒙行列式为解构造n+1阶范德蒙行列式由f(x)的表达式知，的系数为8拆项法：当行列式中的元素有两数相加时将原行列式拆成n个简单的行列式加以计算例9设19解9变换元素法：变换所给行列式中元素的形式

13、，再利用已知行列式的结果，最终得到所求行列式的结果例10解令，由（拆项法例题结果）知因为10分解乘积法：根据所给行列式的特点利用行列式的乘法公式，把所给行列式分解成两个易求解的行列式之积，通过对这两个行列式的计算，从而得到所给行列式之值例1119解例题1919191919