复数的各类表达形式

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1、电气自动化5班缑亮复数的各类表达形式一、代数形式表示形式:表示一个复数复数有多种表示形式,常用形式z=a+bi叫做代数形式。二、几何形式点的表示形式:表示复平满的一个点在直角坐标系中,以x为实轴,y为虚轴,O为原点形成的坐标系叫做复平面,这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定。复数z=a+bi用复平面上的点z(a,b)表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。三、三角形式表示形式复数z=a+bi化为三角形式,z=r(cosθ+sinθi)。式中r=∣z∣=√(a^2+b^2),是复数的模(即绝

2、对值);θ是以x轴为始边,射线OZ为终边的角,叫做复数的辐角,记作argz,即argz=θ=arctan(b/a)。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。四、指数形式表示形式将复数的三角形式z=r(cosθ+isinθ)中的cosθ+isinθ换为exp(iθ),复数就表为指数形式z=rexp(iθ)。电气自动化5班缑亮向量在数学与物理中,既有大小又有方向的量叫做向量(亦称矢量),在数学中与之相对的是数量,在物理中与之相对的是标量。向量的运算法则1、向量的加法  向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。OB+OA=OC。  a+b=(

3、x+x',y+y')。  a+0=0+a=a。  向量加法的运算律:  交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。2、向量的减法  如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0  AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”  a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').  如图:c=a-b以b的结束为起点,a的结束为终点。电气自动化5班缑亮3、数乘向量  实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。  当λ>0时,λa与a同方向  当λ<0

4、时,λa与a反方向;当λ=0时,λa=0,方向任意。  当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。  注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。  实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。  当λ>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍  当λ<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或××反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。  数与向量的乘法满足下面的运算律  结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。  向量对于数的分配律(第一

5、分配律):(λ+μ)a=λa+μa.  数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.  数乘向量的消去律:①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。4、向量的数量积  定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π  定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·b。若a、b不共线,则a·b=

6、a

7、·

8、b

9、·cos〈a,b〉(依定义有:cos〈a,b〉=a·b/

10、a

11、·

12、b

13、);若a、b共线,则a·b

14、=+-∣a∣∣b∣。电气自动化5班缑亮  向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'。  向量的数量积的运算律  a·b=b·a(交换律)  (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)  (a+b)·c=a·c+b·c(分配律)  向量的数量积的性质  a·a=

15、a

16、的平方。  a⊥b〈=〉a·b=0。  

17、a·b

18、≤

19、a

20、·

21、b

22、。(该公式证明如下:

23、a·b

24、=

25、a

26、·

27、b

28、·

29、cosα

30、因为0≤

31、cosα

32、≤1,所以

33、a·b

34、≤

35、a

36、·

37、b

38、)  向量的数量积与实数运算的主要不同点  1.向量的数量积不满足结合律,即:(a·

39、b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2。  2.向量的数量积不满足消去律,即:由a·b=a·c(a≠0),推不出b=c。  3.

40、a·b

41、与

42、a

43、·

44、b

45、不等价  4.由

46、a

47、=

48、b

49、,推不出a=b或a=-b。5、向量的向量积  定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b(这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”)。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=

50、a

51、·

52、b

53、·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则

54、a×b=0。  向量的向量积性质:  ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。  a×a=0。  a垂直b〈=〉a×b=

55、a

56、

57、b

58、。电气自动化5班缑亮  向量的

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