考研数学（三）真题解析【2004年】

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1、2004年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）(1)若，则a=，b=.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为，且，所以，得a=1.极限化为，得b=-4.因此，a=1，b=-4.【评注】一般地，已知＝A，(1)若g(x)®0，则f(x)®0；(2)若f(x)®0，且A¹0，则g(x)®0.(2)设函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)¹0，则.【分析】令u=xg(y)，v=y，可得到f(u,v)的表达式，再求偏导数即

2、可.【详解】令u=xg(y)，v=y，则f(u,v)=，所以，，.(3)设，则.【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x-1=t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x-1=t，＝.【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.(4)二次型的秩为2.【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数,于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为于是二次型的矩阵为,由初等变换得,从而,即二次型的秩为2.【详解二】因为,其中.所以二次型的秩为2.(5)设随机变量服从参数为的指数分布,则.

3、【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】由于,的分布函数为故.【评注】本题是对重要分布,即指数分布的考查,属基本题型.(6)设总体服从正态分布,总体服从正态分布,和分别是来自总体和的简单随机样本,则.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为,,故应填.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7)函数在下列哪个区间内有界.(A)(-1,0).(B)(0,1).(C)

4、(1,2).(D)(2,3).[A]【分析】如f(x)在(a,b)内连续，且极限与存在，则函数f(x)在(a,b)内有界.【详解】当x¹0,1,2时，f(x)连续，而，，，，，所以，函数f(x)在(-1,0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在闭区间[a,b]上有界；如函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且极限与存在，则函数f(x)在开区间(a,b)内有界.(8)设f(x)在(-¥,+¥)内有定义，且，，则(A)x=0必是g(x)的第一类间断点.(B)x=0必是g(x)的第二类间断点.(C

5、)x=0必是g(x)的连续点.(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关.[D]【分析】考查极限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元，可将极限转化为.【详解】因为=a(令)，又g(0)=0，所以，当a=0时，，即g(x)在点x=0处连续，当a¹0时，，即x=0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(9)设f(x)=

6、x(1-x)

7、，则(A)x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点.(B)x=

8、0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.(C)x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.(D)x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点.[C]【分析】由于f(x)在x=0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f(x)在x=0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设00，而f(0)=0，所以x=0是f(x)的极小值点.显然，x=0是f(x)的不可导点.当xÎ(-d,0)时，f(x)=-x(1-x

9、)，，当xÎ(0,d)时，f(x)=x(1-x)，，所以(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f(x)在x=0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.(10)设有下列命题：(1)若收敛，则收敛.(2)若收敛，则收敛.(3)若，则发散.(4)若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).[B]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令，显然，分散，而收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少

10、级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由可得到不趋向于零(n®¥)，所以发散.(4)是错误的，如令，显然，，都发散，而收敛.故选(B).【评注】本题