第十一章 曲线积分与曲面积分经典例题

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1、第十一章曲线积分与曲面积分内容要点一、引例设有一曲线形构件所占的位置是面内的一段曲线（图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为，试求该构件的质量.二、第一类曲线积分的定义与性质性质1设，为常数，则；性质2设由和两段光滑曲线组成(记为)，则注：若曲线可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称是分段光滑的，在以后的讨论中总假定是光滑的或分段光滑的.性质3设在有，则性质4（中值定理）设函数在光滑曲线上连续，则在上必存在一点，使其中是曲线的长度.三、第一类曲线积分的计算：(1.10)如果曲线的方程为，则(1.11)如果曲线的方程为，则(1.12)如果曲线的方程为，则例5（E03

2、）计算其中L为双纽线（图10-1-4）的弧.解双纽线的极坐标方程为用隐函数求导得所以内容要点一、引例：设有一质点在面内从点沿光滑曲线弧移动到点,在移动过程中，这质点受到力(2.1)的作用，其中，在上连续.试计算在上述移动过程中变力所作的功.二、第二类曲线积分的定义与性质：平面上的第二类曲线积分在实际应用中常出现的形式是性质1设L是有向曲线弧,是与L方向相反的有向曲线弧，则；即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.性质2如设由和两段光滑曲线组成，则.三、第二类曲线积分的计算：.(2.9)如果曲线的方程为起点为a,终点为b，则如果曲线的方程为起点为c,终点为d，则内容要点一、格林公式定

3、理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数及在D上具有一阶连续偏导数，则有(3.1)其中L是D的取正向的边界曲线.若在格林公式(3.1)中，令得，上式左端是闭区域D的面积的两倍，因此有二、平面曲线积分与路径无关的定义与条件定理2设开区域是一个单连通域，函数及在内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：（1）曲线积分在内与路径无关；（2）表达式为某二元函数的全微分；（3）在内恒成立；（4）对内任一闭曲线，.由定理的证明过程可见，若函数，满足定理的条件，则二元函数(3.3)满足，我们称为表达式的原函数.或例4计算其中是以为顶点的三角形闭区域.解令则应用格林公式,得例5（E03）计算其中L

4、为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.解记所围成的闭区域为令则当时，有(1)当时，由格林公式知(2)当时，作位于内圆周记由和所围成,应用格林公式，得故例6（E04）求椭圆，所围成图形的面积.解所求面积例7计算抛物线与轴所围成的面积.解为直线曲线为例10（E06）计算积分沿不通过坐标原点的路径.解显然,当时，于是例12验证:在整个面内,是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数.证2利用原函数法求全微分函数由其中是的待定函数.由此得又必须满足所求函数为例13（E07）设函数在平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分与路径无关,并且对任意t,总有求解由曲线积分

5、与路径无关的条件知于是其中为待定函数.由题意可知两边对求导,得或所以例14（E08）设曲线积分与路径无关,其中具有连续的导数,且计算解因积分与路径无关散由由知故例15选取使表达式为某一函数的全微分,并求出这个函数.解若表达式全微分式,则即得例16（E09）求方程的通解.解原方程是全微分方程,原方程的通解为例19求微分方程的通解.解将题设方程改写为即将方程左端重新组合,有故题设方程的通解为内容要点一、第一类曲面积分的概念与性质定义1设曲面是光滑的,函数在上有界,把任意分成n小块(同时也表示第i小块曲面的面积),在上任取一点作乘积并作和如果当各小块曲面的直径的最大值时,这和式的极限存

6、在,则称此极限值为在上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为其中称为被积函数，称为积分曲面.二、对面积的曲面积分的计算法例4计算其中为抛物面解根据抛物面对称性,及函数关于坐标面对称,有例5计算其中是圆柱面平面及所围成的空间立体的表面.解在面上得投影域于是将投影到面上，得投影域所以例8设有一颗地球同步轨道卫星,距地面的高度为km，运行的角速度与地球自转的角速度相同.试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径km).解取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面是上半球面倍半顶角为的圆锥面所截得的部分.的方程为它在面上的投影区域于是通讯卫

7、星的覆盖面积为将代入上式得由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.内容要点二、第二类曲面积分的概念与性质定义1设为光滑的有向曲面,其上任一点处的单位法向量又设其中函数在上有界,则函数则上的第一类曲面积分(5.5)称为函数在有向曲面上的第二类曲面积分.三、第二类曲面积分的计算法设光滑曲面：，与平行于轴的直线至多交于一点，它在面上的投影区域为,则..(5.9)上式右端取“+