林群院士的《微积分魔术》

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1、本文简介现在上网的材料《微积分魔术》，是两书《微积分快餐》（科学出版社，2009年8月）、《微积分减肥快跑》（科学普及出版社，2011年1月）的姊妹篇．今年3月，日本地震惊动了世人，也惊动了微积分教育：微积分不仅为了高中、大学阶段做题、考试之用，更重要的是之后用于预测或破解关系人类生存的大事．所以本文一开始就添加一段“微积分何用”，凸显学习的目的．接下来转入主题，微积分如何像算术或魔术一样，一步一步把困难变走．具有高中数学程度的读者只要用心都能理解，并进一步引导他们到近代微积分．作者简介林群中国科学院院士发展中世界科学院院士   中国科学院数学与系

2、统科学研究院研究员，主要从事计算数学研究．曾获全国科学大会奖、中科院自然科学奖一等奖、何梁何利科技进步奖，B．博尔扎诺数学科学成就金奖．   热爱科普和教育事业，著有《画中漫游微积分》、《微分方程与三角测量》、《微积分快餐》等书，并任全国大学生数学竞赛委员会主任、北京市数学建模竞赛委员会主任．微积分魔术封面图：变走飞机算术，或魔术，拿来与微积分对照：算术里有一招，2+9=9+2，一步便能改变难度甚或把困难变走，像不像变魔术！微积分也有这么一招…作者林群中国科学院院士，发展中世界科学院院士，中国科学院数学与系统科学研究院研究员．主要从事计算数学研究．

3、曾获全国科学大会奖、中科院自然科学奖一等奖、何梁何利科技进步奖，B．博尔扎诺数学科学成就金奖．热爱科普和教育事业，著有《画中漫游微积分》、《微分方程与三角测量》、《微积分快餐》等书，并任全国大学生数学竞赛委员会主任．（linq@lsec．cc．ac．cn）引论摘要算术拿来与微积分对照：算术里有一招，2+9=9+2，一步便能改变难度甚或把困难变走，像不像变魔术！微积分也有这么一招…．微积分何用微积分躲不开、绕不过，高中学它为了快速解题、有利减负，何况大学理工科更要对付难题（如图0-4）．但文史类就不要学吗？请看托尔斯泰本人对《战争与和平》的解读，图0

4、-1摘自《战争与和平》：只有采取无限小的观察单位——历史的微分，并运用积分的方法得到这些无限小的总和，我们才能得到问题的答案——历史的规律．正是这种微积分，纠正了人类由于只观察个别单位所不能不犯下的和无法避免的错误最后一句凸显了微积分对人类何用．还有一些故事：为什么柏林墙会在1989.11.9倒塌？为什么苏联在1992年1月瓦解？为什么股市在1929和1987年的10月崩溃？是什么导致9•11的恐怖袭击？图0-2不知情微积分会帮我们得到答案（或知情）（见[36]的报告）．回到更近一些国计民生．买菜只用初等算术，但存款利息怎么算？见下图：图0-3复利

5、或利滚利，底数每分秒在变化，要用微积分人口预测的难题能不能快速解出？见下图：图0-42000年大陆人口普查，挨家挨户总动员，查了一年多，得12.66亿，又慢又费；若用微积分，只要一个大学生花5分钟，得13.45亿，又快又省，相差8000万（6.4%）可解释为人口流动和少报造成．此例凸显了微积分的效率还有天气预报、地震预报更难，图0-52011年6月日本宣布滨冈核电地带在30年内发生8级地震的概率高达87%该核电因此被叫停，从而可能挽救多少人但人命关天：像2011年3月日本地震引发核泄漏，全世界为之买单，中国的菠菜也测到污染．图0-6排队买盐（不止中

6、国）简言之从人间、天上直到地下，许多事都会用到微积分．这些事难道不会影响到你的行为、感觉或感情，甚或生存？尽管你不必亲自写小说，算利息或作预报，这些都有专家做，但它们怎么来的?为什么是这样？暗藏什么玄机？难道你不想享有更多的知情权（或知识权）吗？图0-7知情权这是生存权的一部分，若你有这意识，生存不光吃喝玩乐，那就应该学一点微积分．微积分与算术对照计算买菜之类日常只需要初等算术，有加减乘除表：图0-8九九歌但是预报地震之类人命关天之事需要一种全新的算术，叫微积分，专来计算函数的导数与积分，有导数与积分表图0-9微积分两块门牌（简称两张表，见本文第一

7、篇末），其功能就像加减乘除表一样，高中学生不可不知（知其然且知其所以然）．这就是微积分中压倒一切的重头戏，破解微积分先破解两张表．上天偏袒，最重要的东西反而容易：这两张表的真相被缩小到两条代数式（书中式（1-14）（1-15））上，完全的证明或推导又缩小到几步高中数学（甚或几个裸例上）没有更多概念或定理，复杂度猛降甚或变走，高中学生也能明白（知其所以然），微积分高中化了，这是当务之急．图0-10梦想成真：高中微积分但凭什么有这样大的本领，能把传统的论证从数百页缩小到几页上？秘密何在？幼儿在计算2+9时由2出发用手掰9下才算出来，一旦变到9+2时由9

8、出发只要掰2下，难度降低了，甚或把困难变走了．图0-11变个角度　难度下降初等算术如此，对比高等的微积分，也有同理：一旦变