高考数学一轮习热点难点精讲精析8.4椭圆

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1、高考一轮复习热点难点精讲精析:8.4椭圆(一)椭圆的定义以及标准方程※相关链接※1.椭圆定义的应用利用椭圆的定义解题时,一方面要注意常数2a>

2、F1F2

3、这一条件;另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系.2.椭圆的标准方程(1)当已知椭圆的焦点在x轴上时,其标准方程为+=1(a>b>0);当已知椭圆的焦点在y轴上时,其标准方程为+=1(a>b>0);(2)当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时,其标准方程可设为+=1(m>0,n>0,m≠n),这样可避免讨论和复杂的计算;

4、也可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)这种形式,在解题时更简便.求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法,有时还可根据条件用代入法。用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是:(1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能。(2)设方程:根据上述判断设方程。(3)找关系:根据已知条件,建立关于的方程组。(4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求。注:当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时,可设,可以避免讨论和繁杂的计算,也可以设为,这种形式在解题时更简

5、便。※例题解析※〖例1〗已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点,若

6、F2A

7、+

8、F2B

9、=12,则

10、AB

11、=____;方法诠释:注意

12、AF1

13、+

14、AF2

15、=10,

16、BF1

17、+

18、BF2

19、=10,且

20、AF1

21、+

22、F1B

23、=

24、AB

25、,再结合题设即可得出结论;解析:由椭圆的定义及椭圆的标准方程得:

26、AF1

27、+

28、AF2

29、=10,

30、BF1

31、+

32、BF2

33、=10,又已知

34、F2A

35、+

36、F2B

37、=12,所以

38、AB

39、=

40、AF1

41、+

42、BF1

43、=8.答案:8〖例2〗已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,

44、且P到两焦点的距离分别为5、3,过P且长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程。方法诠释:设椭圆方程为→根据题意求→得方程。解析:设所求的椭圆方程为,由已知条件得故所求方程为方法指导:1.在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时,经常联想到椭圆的定义,即利用椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a求解;2.在求椭圆方程时,若已知椭圆上的点到两焦点的距离,可先求出椭圆长轴长,再想法求短轴长,从而得出方程;若已知点的坐标,可先设出椭圆的标准方程,再利用待定系数法求解;⒊当椭圆的焦点不确定时,应考虑焦点在x轴、在y轴

45、两种情形,无论哪种情形,始终有a>b>0.(二)椭圆的几何性质※相关链接※1.椭圆几何性质中的不等关系椭圆的几何性质涉及一些不等关系,例如对椭圆,有等,在求与椭圆有关的一些量的范围,或者求这些量的最大值时,经常用到这些不等关系。2.利用椭圆几何性质应注意的问题求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系.3.求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率时,一般是依据题设得出一个关于a、b、c的等式(或不等式),利用a2=b2+c

46、2消去b,即可求得离心率或离心率的范围.或者是:应先将e用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式,从而求出e的值或范围。离心率e与的关系:注:椭圆离心率的范围:0

47、∠的取值范围,即需求cos∠的范围,用余弦定理即可。解答:(1)设(-c,0),则(3)设

48、

49、=,

50、

51、=,∠=,∴+=2,

52、

53、=2(4)注:熟练掌握椭圆定义及性质并且其解决相应问题,在求离心率时,除已知等式外,还需一个关于的等式,即可求得。(三)直线与椭圆的位置关系※相关链接※1.直线与椭圆位置关系的判定把椭圆方程与直线方程y=kx+b联立消去y,整理成形如的形式,对此一元二次方程有:(1)⊿>0,直线与椭圆相交,有两个公共点;(2)⊿=0,直线与椭圆相切,有一个公共点;(3)⊿<0,直线与椭圆相离,无公

54、共点。故直线与椭圆位置关系判断的步骤:第一步:联立直线方程与椭圆方程;第二步:消元得出关于x(或y)的一元二次方程;第三步:当Δ>0时,直线与椭圆相交;当Δ=0时,直线与椭圆相切;当Δ<0时,直线与椭圆相离.2.直线被椭圆截得的张长公式,设直线与椭圆交于两点,则注:解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决。3.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法注:利用公式计算直线被椭圆截得的

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