高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 8.4椭 圆

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1、高考一轮复习热点难点精讲精析：8.4椭圆（一）椭圆的定义以及标准方程※相关链接※1.椭圆定义的应用利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数2a>

2、F1F2

3、这一条件；另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系.2.椭圆的标准方程（1）当已知椭圆的焦点在x轴上时，其标准方程为+=1(a>b>0)；当已知椭圆的焦点在y轴上时，其标准方程为+=1(a>b>0)；（2）当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为+=1(m>0,n>0,m≠n)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)这种形式,在解题

4、时更简便.求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法，有时还可根据条件用代入法。用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：（1）作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能。（2）设方程：根据上述判断设方程。（3）找关系：根据已知条件，建立关于的方程组。（4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求。注：当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为，这种形式在解题时更简便。※例题解析※〖例1〗已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若

5、F2A

6、+

7、F2B

8、=12，则

9、AB

10、

11、=____；方法诠释：注意

12、AF1

13、+

14、AF2

15、=10，

16、BF1

17、+

18、BF2

19、=10,且

20、AF1

21、+

22、F1B

23、=

24、AB

25、，再结合题设即可得出结论；解析：由椭圆的定义及椭圆的标准方程得：

26、AF1

27、+

28、AF2

29、=10,

30、BF1

31、+

32、BF2

33、=10,又已知

34、F2A

35、+

36、F2B

37、=12，所以

38、AB

39、=

40、AF1

41、+

42、BF1

43、=8.答案：8〖例2〗已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。方法诠释：设椭圆方程为→根据题意求→得方程。解析：设所求的椭圆方程为，由已知条件得故所求方程为方法指导：1.在解决椭圆

44、上的点到焦点的距离问题时，经常联想到椭圆的定义，即利用椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a求解；2.在求椭圆方程时，若已知椭圆上的点到两焦点的距离，可先求出椭圆长轴长，再想法求短轴长，从而得出方程；若已知点的坐标，可先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求解；⒊当椭圆的焦点不确定时，应考虑焦点在x轴、在y轴两种情形，无论哪种情形，始终有a>b>0.（二）椭圆的几何性质※相关链接※1.椭圆几何性质中的不等关系椭圆的几何性质涉及一些不等关系，例如对椭圆，有等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值时，经常用到这些不等关系。2.利用椭圆几何性质应注意的问题求解与椭圆几

45、何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.3.求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于a、b、c的等式（或不等式），利用a2=b2+c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.或者是：应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围。离心率e与的关系：注：椭圆离心率的范围:0

46、（1）求椭圆的离心率；（2）设Q是椭圆上任意一点，、分别是左、右焦点，求∠的取值范围。思路解析：由与是共线向量可知AB∥OM，从而可得关于的等量关系，从而求得离心率；若求∠的取值范围，即需求cos∠的范围，用余弦定理即可。解答：（1）设（-c,0）,则（3）设

47、

48、=，

49、

50、=，∠=，∴+=2，

51、

52、=2（4）注：熟练掌握椭圆定义及性质并且其解决相应问题，在求离心率时，除已知等式外，还需一个关于的等式，即可求得。（三）直线与椭圆的位置关系※相关链接※1．直线与椭圆位置关系的判定把椭圆方程与直线方程y=kx+b联立消去y，整理成形如的形式，对此一元二次方程有：（1）⊿>0,直线与

53、椭圆相交，有两个公共点；（2）⊿=0，直线与椭圆相切，有一个公共点；（3）⊿<0，直线与椭圆相离，无公共点。故直线与椭圆位置关系判断的步骤：第一步：联立直线方程与椭圆方程；第二步：消元得出关于x（或y）的一元二次方程；第三步：当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ=0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离.2．直线被椭圆截得的张长公式，设直线与椭圆交于两点，则注：解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决。3.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法注：利用公式计算直线被椭圆截得的