高一数学反函数性质的应用

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1、反函数性质的应用只有定义域和值域一一对应的函数才有反函数，反函数是由原函数派生出来的，它的定义域、对应法则、值域完全由原函数决定。因此利用这一关系可以将原函数的问题与反函数的问题相互转化，使问题容易解决。现在看一下反函数性质的应用。⒈利用反函数的定义求函数的值域例1：求函数y=的值域。分析：这种函数可以利用分离常数法或反函数法求值域，下面利用反函数法来求解。解：由y=得y(2x+1)=x-1∴(2y-1)x=-y-1∴x=∵x是自变量，是存在的，∴2y-10，∴y。故函数y=的值域为：{y│y}。点评

2、：形如y=的函数都可以用反函数法求它的值域。⒉原函数与反函数定义域、值域互换的应用例2：已知f(x)=4-2，求f(0)。分析：要求f(0)，只需求f(x)=0时自变量x的值。解：令f(x)=0，得4-2=0，∴2（2-2）=0，∴2=2或2=0（舍），∴x=1。故f(0)=1。点评：反函数的函数值都可以转化为求与之对应的原函数的自变量之值，反之也成立。⒊原函数与反函数的图像关于直线y=x对称的应用例3：求函数y=（x(-1，+)）的图像与其反函数图像的交点。分析：可以先求反函数，再联立方程组求解；也

3、可以利用原函数与反函数的图像关于直线y=x对称求解，这里用后一种方法求解。只要原函数与反函数不是同一函数，它们的交点就在直线y=x上。解：由得或∴原函数和反函数图像的交点为（0，0）和（1，1）。点评：利用利用原函数与反函数的图像关于直线y=x对称的性质，可以简化运算，提高准确率。但要注意原函数与反函数不能是同一函数，它们的交点才在直线y=x上。⒋原函数与反函数的单调性相同的应用例4：已知f(x)=2+1的反函数为f(x)，求f(x)<0的解集。分析：因为f(x)=2+1在R上为增函数，所以f(x)在

4、R上也为增函数。又因为原函数与反函数定义域、值域互换，所以f(x)中的x的范围就是f(x)的范围。解：由f(x)=2+1>1得f(x)中的x>1。又∵f(x)<0且f(x)=2+1在R上为增函数，∴f

5、反函数的条件转化为原函数的关系来应用，利用恒等找到关于a、b、c的方程组，即可求解。解：∵=∴====x∴(3a+b)x-a+2b=(c+3)+(2c-1)x∴∴点评：上述解法利用了原函数与反函数的还原性，避免了求反函数，若求反函数，步骤非常烦琐，容易出现计算失误。