高斯定理的证明方法和应用

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1、高斯定理的证明方法和应用1017030327大禹6班李开春高斯定理是电磁学的一条重要定理，这里对高斯定理作了比较详细的介绍，并提供了数学法、直接证明法等方法证明高斯定理，以及介绍高斯定理的应用和使用高斯定理应注意的问题，从中可以发现高斯定理在解决电场和磁场学中的方便之处。关键字：高斯定理、高斯公式、证明、应用高斯定理又叫散度定理，高斯定理在物理学研究方面，应用非常广泛，应用高斯定理求曲面积分、静电场、非静电场或磁场非常方便，特别是求电场或者磁场中的场强。虽然有时候应用高斯定理求电场或者磁场中的场强问题很方便，但是

2、它也存在一些局限性，所以要更好的运用高斯定理解决电场和磁场学问题，我们首先应对高斯定理有一定的了解。一、高斯定理的表述高斯定理是关于静电场中通过任一闭合曲面的电通量与这个曲面中所包含的电荷之间的定量关系。1、数学上的高斯公式设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S所围成，若函数P，Q，R在V上连续，且有一阶连续函数偏导数，则（1）其中S取外侧。(1)式称为高斯公式。1、物理上静电场的高斯定理在一半径r的球面S包围一位于球心的点电荷Q，在这个球面上，场强的方向处处垂直于球面，且的大小相等，都是。通过这个球面S的电通量

3、为从此例中可以看出，通过球面S的电通量只与其中的电量Q有关，与高斯面的半径r无关。若将球面S变为任意闭合曲面，由电场线的连续性可知，通过该闭合曲面的电通量认为.若闭合面S内是负电荷-Q，则的方向处处与面元dS取向相反，可计算出穿过S面的电通量为。若电荷Q在闭合曲面S之外，它的电场线就会穿入又穿出S面，通过S面的电通量为零。如果闭合面S内有若干个电荷Q1,Q2,…Qn，由场强叠加原理可知，通过S面的电通量为上式表明，在真空中的静电场内，通过任意一闭合曲面的电通量，等于包围在该面内的所有电荷的代数和的e0分之一，这就

4、是真空中的高斯定理。通常把闭合曲面S称为高斯面，对于连续分布的电荷，上式可以表述为2、物理上磁场的高斯定理由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。用式子表示：与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场

5、线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正或者负电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，N极和S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。一、高斯定理的证明1、高斯定理的数学证明（1）证明静电场的高斯定理（a）点电荷在球面中心点电荷q的电场强度为球面的电通量为（1）（b）点电荷在任意闭曲面外闭曲面S的电通量为（2）根据高斯公式（3）并考虑到在S内有连续一阶的偏导数，故式（2）可以用高斯公式计算。将式（2）代入式（3）中得（

6、c）点电荷在任意闭曲面内在任意闭曲面S内以点电荷q为球心作一辅助球面S1，其法向朝内，根据（1）式可知点电荷q在闭曲面S+S1的电通量为零，即：（4）其中式（4）中S1和S2的大小相等，法向相反。（d）点电荷系在闭曲面内外设闭曲面内的点电荷为q1,q2,q3…qn；闭曲面外的点电荷为qn+1…则根据上述讨论可得这就是静电场的高斯定理。（2）证明磁场的高斯定理（a）电流元Idl在球面中心由磁通量的定义和毕奥-萨法尔定律可得电流元的磁感应强度对球面的磁通量为因为r∥Ds,所以（b）电流元Idl在任意闭曲面外电流元的磁

7、感应强度对闭曲面的磁通量为因为r=xi+yi+zk，并设dl=dlk，则dl×r=-ydli+xdlj代入原式得根据高斯公式同理可得（c）电流元在任意闭曲面内以此类推，在闭曲面S内，以电流元为球心作一辅助球面S1，因为所以，（d）电流在闭曲面内外由上述易知，所有的电流元在闭曲面上的磁通量也为零，即这正是磁场的高斯定理。3、高斯定理的证明如图所示，设有一电量为q孤立的正点电荷，现以点电荷所在处为球心，任意r为半径作一球面为高斯面，球面上任意点的场强为风向沿径向离开球心，和球面上改点的法线正方向相同。通过该闭合曲面的

8、电通量为与半径无关。这一结果根据电通量的定义表明,电量为q的正点荷发出条电场线,由于电通量与半径无关,说明电场线是不间断的；若q为负点荷,则表明有条电场线汇集到这个负点电荷上,同样这些电场线也是不间断的。由于电场线是不间断的,面外电荷不影响闭合曲面的电通量。现在我们设想这个点电荷不位于球心而位于球面内任意点处,那么据以上分析同样得穿过这个闭合球面的电通量亦为。现在我们进一