第十一章曲线积分与曲面积分复习讲稿

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1、高等数学复习第十一章曲线积分与曲面积分本章主要内容 1.两类曲线积分的概念、性质及其计算方法．2.格林公式及其应用，曲线积分与路径无关的充要条件.3.两类曲面积分的概念、性质及其计算方法．4.高斯公式及其应用.若具有一阶连续偏导数，则与路径无关的条件是设闭区域由分段光滑的曲线围成，其中取正向，则区域的面积为课堂练习1．设为曲线与直线所围区域的整个边界曲线，是连续函数，则曲线积分（）(A)；(B)；(C)；(D).9解曲线与直线的交点为，，记曲线为，直线为，由对弧长的曲线积分计算法得=选(D)2．设是圆周，计算3．设为上半圆

2、周上从点到点的一段弧，则曲线积分（为常数）（）(A)(B)(C)(D)添加从轴上从点到的直线段，则构成封闭曲线，它所围成的平面区域记为，由格林公式有9=而故=选(C)4.利用曲线积分求曲线所围成的图形的面积．解：圆的参数方程为5．设为圆周上从点到点的一段弧，计算9记与所围的区域为，则6．设为沿从点依逆时针到点的半圆，计算添加辅助线的一段，由格林公式得7．设为任何不经过的区域内的曲线，为了使曲线积分与路径无关，则(A)　　　(B)　(C)　　(D)9为使曲线积分与路径无关，只须使，得选(A)8．求曲面积分，其中是圆柱面被平面

3、和所割下的部分。由于关于平面对称，有，故====9．计算，其中为下半球面的上侧，.10.其中是锥面及平面，所围立体表面的外侧.解:由高斯公式得 ，9    11.其中是柱面被平面，所截的在第一与第二卦限内的部分的右侧.解:设为的下侧，为的上侧,为的左侧，由高斯公式有:                                                  所以12．为半球面的上侧，计算曲面积分9补充平面：取下侧，由高斯公式7．设是球面，则曲面积分(A)　　　(B)　(C)　(D)把球面分成上半球面和下半球面，即，

4、对上、下半球面都有曲面、在平面上的投影区域为，所以=选(C)8．为半球面的上侧，计算曲面积分9补充平面：取下侧，由高斯公式9．设是锥面的下侧，计算曲面积分补一个曲面上侧∴（为锥面和平面所围区域）（为上述圆锥体体积）而所以原式99