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1、普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合,,则()A.B．C．D．2．定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是()A.B．C．D．3．若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是()A.B．C．D．4．已知离散型随机变量的分布列为则的数学期望()A.B．C．D．5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是()正视图俯视图侧视图第5题图A.B．C．D．6．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的
2、是()A.若,,,则B．若,,,则C．若,,,则D．若,,,则7．已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是()A.B．C．D．8．设整数,集合.令集合，若和都在中,则下列选项正确的是()A.,B．,C．,D．,二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分(一)必做题(9～13题)9．不等式的解集为___________．10．若曲线在点处的切线平行于轴,则______.11．执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值为______.是否输入输出结束开始第11题图n12.在等差数列中,已
3、知,则_____.13.给定区域:,令点集，是在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定______条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线的参数方程为(为参数),在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________.15.(几何证明选讲选做题)如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于.若,,则_________..AEDCBO第15题图三、解答题:本大题共6小题,满
4、分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数,.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若,,求．17．（本小题满分12分）某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.第17题图(Ⅰ)根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ)从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀工人的概率.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点.将沿折起,得到如图2所
5、示的四棱锥,其中.(Ⅰ)证明:平面；(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值..COBDEACDOBE图1图219．（本小题满分14分）设数列的前项和为.已知,,.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求数列的通项公式；(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.20．（本小题满分14分）已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)当点为直线上的定点时,求直线的方程；(Ⅲ)当点在直线上移动时,求的最小值.21．（本小题满分14分）设函数(其中).(Ⅰ)当时,求函数的单调区间；(Ⅱ)当时,求
6、函数在上的最大值.参考答案一、选择题1．D2．C3．C4．A5．B6．D7．B8．B9．10．11．12．13．14．15．16．(Ⅰ)；(Ⅱ)因为,,所以,所以,所以.17．解：（1）由题意可知，样本均值（2）样本6名个人中日加工零件个数大于样本均值的工人共有2名，可以推断该车间12名工人中优秀工人的人数为：（3）从该车间12名工人中，任取2人有种方法，而恰有1名优秀工人有所求的概率为：18．(Ⅰ)在图1中,易得CDOBEH连结,在中,由余弦定理可得由翻折不变性可知,所以,所以,理可证,又,所以平面.(Ⅱ)传统法:过作交的延长线
7、于,连结,因为平面,所以,所以为二面角的平面角.结合图1可知,为中点,故,从而CDOxE向量法图yzB所以,所以二面角的平面角的余弦值为.向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,,所以,设为平面的法向量,则,即,解得,令,得由(Ⅰ)知,为平面的一个法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值为.19．..(1)解：，.当时，又，（2）解：，.①当时，②由①—②，得数列是以首项为，公差为1的等差数列.当时，上式显然成立.（3）证明：由（2）知，①当时，，原不等式成立.②当时,,原不等式亦成立.③当时,当时,，原不等式亦成立.综
8、上，对一切正整数，有.20．(Ⅰ)依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得.所以抛物线的方程为.(Ⅱ)抛物线的方程为,即,求导得设,(其中),则切线的斜率分别为,,所以切线的方程为,即,即同理可得切线的方程为因为切线均过点,所以,所以为方程的两组解.
