专题研究：等差数列及前n项和归纳总结及典型例题

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1、等差数列及其前n项和【高考导向】1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题．2．考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用．【教材地位】数列这一章在高中教材当中的地位相当重要，既是与前面函数等一系列内容有交叉部分，又能与后面的不等式等内容衔接上。高考中占据相当大的分值，大题中会出现一题，前面小题也会出现。所以这一节很重要，对于每一位学员来说，很有必要学好。【重难点】1．等差数列的判断及证明．2．等差数列常见性质及推导．3．运用基本量法求解等差数列的基本量问题．4．等差数列的性质、前n项和公式及综合应用．【知

2、识梳理】1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．记：（d为公差）（，）2．等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.推广公式：变形推广：3、等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或（2）等差中项：数列是等差数列4、等差数列的前n项和公式：（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项

3、数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（证明方法）（1）定义法：若或(常数)是等差数列．（2）等差中项：数列是等差数列（3）数列是等差数列（其中是常数）。（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。注后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．6、等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（

4、2）设项技巧：①一般可设通项②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为2）7、等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0。（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）当时,则有，特别地，当时，则有。（注：，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。（4）、为等差数列，则都为等差数列(5)若{}是等差数列，则，…也成

5、等差数列(6){an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．（7）、的前和分别为、，则（8）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和，当然也有，则（9）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和①当项数为偶数时，②当项数为奇数时，则（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）．8、求的最值法一：因等差数列前项和是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最

6、大值是所有非负项之和即当由可得达到最大值时的值．（2）“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即当由可得达到最小值时的值．或求中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若Sp=Sq则其对称轴为9、解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。【例题精选】考向1：等差数列的概念【例1】．（2

7、001天津理，2）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列答案：B；解法一：an=∴an=2n－1（n∈N）又an+1－an=2为常数，≠常数∴{an}是等差数列，但不是等比数列.解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，则这个数列一定是等差数列。点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式an=Sn－Sn－1的推理能力.但不要忽

8、略a1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活。考向2：等差数列基本量的计算【例2】►(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．[审题视点]第(1)问，求公差d；第(2)问，由(1)求Sn，列方程可求k.解(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d