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时间:2018-07-20
《专题研究:等差数列及前n项和归纳总结及典型例题》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、等差数列及其前n项和【高考导向】1.考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题.2.考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用.【教材地位】数列这一章在高中教材当中的地位相当重要,既是与前面函数等一系列内容有交叉部分,又能与后面的不等式等内容衔接上。高考中占据相当大的分值,大题中会出现一题,前面小题也会出现。所以这一节很重要,对于每一位学员来说,很有必要学好。【重难点】1.等差数列的判断及证明.2.等差数列常见性质及推导.3.运用基本量法求解等差数列的基本量问题.4.等差数列的性质、前n项和公式及综合应用.【知
2、识梳理】1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.记:(d为公差)(,)2.等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.推广公式:变形推广:3、等差中项(1)如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项.即:或(2)等差中项:数列是等差数列4、等差数列的前n项和公式:(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)特别地,当项
3、数为奇数时,是项数为2n+1的等差数列的中间项(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)5、等差数列的判定方法(证明方法)(1)定义法:若或(常数)是等差数列.(2)等差中项:数列是等差数列(3)数列是等差数列(其中是常数)。(4)数列是等差数列,(其中A、B是常数)。注后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.6、等差数列相关技巧:(1)等差数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:、、、及,其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。(
4、2)设项技巧:①一般可设通项②奇数个数成等差,可设为…,…(公差为);③偶数个数成等差,可设为…,,…(注意;公差为2)7、等差数列的性质:(1)当公差时,等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差;前和是关于的二次函数且常数项为0。(2)若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列。(3)当时,则有,特别地,当时,则有。(注:,)当然扩充到3项、4项……都是可以的,但要保证等号两边项数相同,下标系数之和相等。(4)、为等差数列,则都为等差数列(5)若{}是等差数列,则,…也成
5、等差数列(6){an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.(7)、的前和分别为、,则(8)等差数列的前n项和,前m项和,则前m+n项和,当然也有,则(9)设数列是等差数列,d为公差,是奇数项的和,是偶数项项的和,是前n项的和①当项数为偶数时,②当项数为奇数时,则(其中是项数为2n+1的等差数列的中间项).8、求的最值法一:因等差数列前项和是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性。法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前项和的最
6、大值是所有非负项之和即当由可得达到最大值时的值.(2)“首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和。即当由可得达到最小值时的值.或求中正负分界项法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,取最大值(或最小值)。若Sp=Sq则其对称轴为9、解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:①基本量法:即运用条件转化为关于和的方程;②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量。【例题精选】考向1:等差数列的概念【例1】.(2
7、001天津理,2)设Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n2,则{an}是()A.等比数列,但不是等差数列B.等差数列,但不是等比数列C.等差数列,而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列答案:B;解法一:an=∴an=2n-1(n∈N)又an+1-an=2为常数,≠常数∴{an}是等差数列,但不是等比数列.解法二:如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数,则这个数列一定是等差数列。点评:本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识,以及灵活运用递推式an=Sn-Sn-1的推理能力.但不要忽
8、略a1,解法一紧扣定义,解法二较为灵活。考向2:等差数列基本量的计算【例2】►(2011·福建)在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.[审题视点]第(1)问,求公差d;第(2)问,由(1)求Sn,列方程可求k.解(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3可得1+2d
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