时间和空间的数学.doc

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1、时间和空间的数学　　【摘要】文章针对人类生活的空间作出一些分析，探讨；论述时空观点对数学尤其是几何学的影响。　　【关键词】空间时间维数几何学　　　　“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怅然而涕下。”这是唐朝陈子昂的诗句，抒发着诗人对时间和空间的万千感慨。是啊，茫茫太空，遥遥未来，我们生活的宇宙空间究竟是什么样的？这是人类一个永恒的科学主题。古往今来，不知多少科学志士为此付出毕生精力，但是研究至今仍未完结。一部数学发展史竟也和这一课题结下了不解之缘。各种各样的几何学正是描摹宇宙的数学框架。　　按照哲学原理时间是没有起点的。但是人们

2、可以人为地选择一个标志性时间作为计算的原点。此前的时间无限，此后的时间也无限。现在世界通行的计算时间的原点是公元零年。尽管这是“耶稣基督”降生的年份，带有明显的宗教色彩，但是，国际上需要一个共同的计算时间的方法。只要大家接受，世界通行，作为“地球村”的一员就应该遵守国际惯例，和国际接轨。而诸如光绪某某年、民国某某年的纪年方法确实没有必要再使用了。时间的几何模型是一维的直线，没有开端也没有终结。时间和实数集一一对应。时间的连绵不断正是实数连续性的直观背景。有了年的起点，天文学便要规定月、日、小时、分、秒，以至毫、微秒等等，单位越来越小，

3、永远不会完结。一个具体的时刻可以说成是某年某月某日某时某分某秒，用数字来表示，便是一个有理数。另一方面，时间和时间是连续的，没有“非时间”的空隙存在。所以时间可以用一条两头无限的直线加以表示。当取定了时间原点和单位时间之后，每个时刻都对应一个实数，每个实数也确定一个时刻。就是说，时间和实数是一一对应的。用几何方法表示就是一条直线。现实空间的直观描述是三维的：上下、前后、左右；各向同性：无限广延；处处都有一样的密度；每一个维度相当于一条直线；两个维度构成一个平面；三个维度构成一个立体空间。古希腊数学家研究点、线、面的关系，便建立起公理体

4、系，世称“欧氏空间”，其上的几何学即“欧氏几何学”。欧几里得的几何学是现实世界最简单、最粗略的近似。他为牛顿的绝对时空准备了数学模型。在牛顿看来，空间像一个大容器，物体在其中运动、静止、放进或移出，空间并不会发生什么变化。另一方面，时间像一条川流不息的河流，无论事件发生或者不发生，时间总是均匀不变地流逝。因此，三维的欧氏几何学可以描述空间，一维的欧氏空间（数轴）可以描述时间，两者互不相干，这是人们最朴素的时空观，也是现今大多数人持有的时空观。在人们日常生活中，用这样的方法描述宇宙也就可以了。2　　一维几何是贫乏的，平面几何、立体几何就

5、想当复杂。除了直线、直方形，还有曲线、曲面等各种几何形。最简单的曲线是圆，最简单的几何体有柱体、锥体、台体和球体。它们的表面是最简单的曲面，包括柱面、锥面、球面。这种研究的方法称为综合几何学的方法。笛卡尔为欧氏空间安上了坐标架，使数形结合起来诞生了解析几何学。他发明了坐标系，把欧氏空间的点变成有序的三元数组（x，y，z）；曲线用只有一个参数的方程表示；曲面则用含有两个参数的方程表示；用代数方法进行演算，使得几何学插上了翅膀。用综合方法研究的圆锥曲线，在代数上表示为二次曲面，解析几何学由此诞生。平面和空间的几何学是直观的，但是更高维的几

6、何学需要新的抽象表示方法。平面向量、空间向量推广到n维向量，用向量构成了线性空间，矩阵成为描述几何变换的有力的工具。线性代数和几何学成为密切的伙伴。欧氏几何中平行公理的研究，导致非欧几何学的产生。其实现实世界并非只有一种几何——欧氏几何学。例如球面上的几何学（以大圆作“直线”看）就不满足欧氏平面几何的公理体系。19世纪发现的非欧几何学打开了新的天地。几何图形可以搬来搬去，不改变图形的面积、体积。中国有所谓“出入相补”原理即基于此种想法。但是相似变换可以把图形缩小，面积体积随之而变化。把物体投影在墙上，形状有变化的成分，也有不变的成分。

7、这种变和不变成了几何学的研究对象。射影几何学成了一门学问。F·克莱因提出，几何学应当按变换群进行分类，变换群的不变量构成几何学的研究对象。欧氏几何学所使用的工具很简单，所以只能研究直线、平面、直方体的变化。由“直”向“曲”的进化来自微积分的推动。高斯研究曲面上的几何学，即经典的微分几何学。最简单的曲面是球面，地球相当于一个椭球面。地球上两点之间以怎样的曲线为最短？这相当于问，从北京到纽约，沿着怎样的路线走向最短。这种“曲面上的最短线”称为测地线。球面上的测地线就是大圆。微分几何学的一个根本问题是如何“度量”曲线的长短。曲线的弧长当然要

8、用微积分方法进行计算。高斯给出了一系列的基本量度，其中最重要的是曲率。曲面上各处的弯曲程度是不一样的，不像欧氏几何到处都是一样的平直（曲率到处是零）。从平直的欧氏空间进到弯曲的一般空间，不仅仅是弯曲程度起了变化，更重要的