函数极限理论的归纳与解题方法的总结

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1、目录引言1一、基本概念与基本理论2(一)函数极限2(二)重要极限9(三)函数的上极限与下极限10(四)Stolz定理的推广定理11二、习题类型与其解题方法归纳11(一)根据定义证明函数正常极限与非正常极限的方法。12(二)根据定义与极限性质证题的方法14(三)求函数极限方法15(四)判断函数极限存在与不存在的方法20参考文献：2424函数极限理论的归纳与解题方法的总结薛昌涛(渤海大学数学系辽宁锦州121000中国)摘要：宇宙中的任何事物都是不断运动变化、相互联系、相互制约的。“函数”的产生正是为了满足刻划这种关系的需要，函数极限理论可谓函数理

2、论重中之重。极限定义24个，性质60个，习题更是千变万化，看上去似乎很繁杂，但经过深入浅出的分析就会很明了。本文旨在化繁为简、总结规律，启示方法。关键词：函数、极限、方法TheConclusionofTheoryofFunctionLimitandMethodsSummary（Departmentofmathbohaiuniversityliaoningjinzhou121000）XueChangtaoAbstract:Everythingintheuniverseisalwaysmoving,varying,intergratingorre

3、strictingeachother.Functionemergedfortheneedofdescribingthisrelation.Thethoryoffunctionlimitplaysakeyroleinfunctiontheory.ThereareTwenty–fourdefinitionstolimit,sixtyqualties,andtheexercisesareeverchanging.Itseemscomplexverymuch,butitwillbeclearafterdelicateanalysis.Thistext

4、aimatchangingcomplextosimple,suminguptheregulars,enlighteningthemethods.Keywords:FunctionLimitMethod引言“函数”一词是微积分的创始人之一莱布尼兹(Leibniz)最先使用的，并且把的函数记为等，但是，直到19世纪初，人们还是把函数理解为“变量和常数组成的解析表达式”。直到1834年，狄里克莱(Dirichlet)指出，函数与变量的关系不但不必用统一的法则在全区间上给出，而且不必用解析式给出。至此，函数才被赋予了单值对应的意义。24在整个宇宙中，

5、我们找不出不在运动变化的事物，但各个事物的变化，又绝非彼此孤立隔绝，而是相互联的，相互制约的。“函数”无论在理论研究还是现实的科学探索，都发挥着举足轻重的作用，而极限问题可谓函数问题之重点，所以搞清函数极限的相关问题是尤为重要的。一、基本概念与基本理论（一）函数极限1．函数正常极限与非正常极限定义共个，它们的形式是：为有限数)可见函数正常极数定义共6个，非正常极数定义共18个，比数列正常极限定义1个、非正常极限定义3个(两者总共4个)多了20个定义，而此24个定义是整部数学分析的基础。对它们的理解与记忆按下述程序进行：先理解与记忆4个基本定义

6、，再推及其它而总观24个定义。(1)四个基本定义定义1(定义)设是定义在上的函数，是一个确定的数，若，，当时，有，则称函数当时以为极限，记作，或，或。此时也称为在正无穷远处的极限。注1此定义，是数列极限之定义的推广，只需将定义中之换为，换为即可，这是由于，数列是以自然数集为定义域的函数，故均为自然数集的成员，而函数24的定义域为实数集，因而改为中之，来描述。注2定义1是在正无穷远点处函数的极限，现将正无穷远点改为有限点处，其函数极限即为下述定义2，即只要将正无穷远邻域的描述改为的空心邻域的描述即可，因变量刻划相同。定义2(双侧极限定义)设函数

7、在点的某个空心邻域内有定义，是一个确定的数。若，当时，有，则称当趋于时以为极限，记作，或。问题1在的定义中，为什么限定(即)？如果把此条件去掉，写作“当时，有”是否可以？［3］答：不可以，极限的意义是：当自变量趋于时，对应的函数值无限接近常数。在的情况，包括在是否有定义，有定义时，等于什么都不影响时，的变化趋势，故应把这一点排除在外。如果把此条件去掉，把的定义写作“，，当时，有”，则当时，也有，由的任意性，要使此不等式成立，必定有，这个条件显然与时，的变化趋势是不相干的。定义3(单侧极限定义)设函数在［或］内有定义，是一个确定的数，若，使当(

8、或时，有，则称在趋于时以为右(左)极限，记作，或(或24)。注3定义3中右极限(左极限)，定义在的右侧，则；对于左极限，定义在的左侧，则，于是定义2是关键，只要考虑