拍案惊奇,原来折纸背地的数学如此强大

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5、壳DIY上前不久的“叹为观纸”第一期：现代折纸介绍一文让无数人喜欢上了折纸这门艺术。死理性派也来凑个热闹，讲一讲折纸背后的数学之美。一张白纸，不剪不裁，却能折出无数变化。有时候尺规作图无法完成的任务，折纸却能解决。为什么它能有如此多变化呢？这还要从折纸对应的几何操作说起了。折纸几何公理1991年，日裔意大利数学家藤田文章（HumiakiHuzita）指出了折纸过程中的6种基本操作，也叫做折纸几何公理。假定所有折纸操作均在理想的平面上进行，并且所有折痕都是直线，那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作：1

6、.已知A、B两点，可以折出一条经过A、B的折痕2.已知A、B两点，可以把点A折到点B上去3.已知a、b两条直线，可以把直线a折到直线b上去4.已知点A和直线a，可以沿着一条过A点的折痕，把a折到自身上5.已知A、B两点和直线a，可以沿着一条过B点的折痕，把A折到a上6.已知A、B两点和a、b两直线，可以把A、B分别折到a、b上容易看出，它们实际上对应着不同的几何作图操作。例如，操作1实际上相当于连接已知两点，操作2实际上相当于作出已知两点的连线的垂直平分线，操作3则相当于作出已知线段的夹角的角平分线，操作4则相

7、当于过已知点作已知线的垂线。真正强大的则是后面两项操作，它们确定出来的折痕要满足一系列复杂的特征，不是尺规作图一两下能作出来的（有时甚至是作不出来的）。正是这两个操作，让折纸几何有别于尺规作图，折纸这门学问从此处开始变得有趣起来。更有趣的是，操作5的解很可能不止一个。在大多数情况下，过一个点有两条能把点A折到直线a上的折痕。操作6则更猛：把已知两点分别折到对应的已知两线上，最多可以有三个解！一组限定条件能同时产生三个解，这让操作6变得无比灵活，无比强大。利用一些并不太复杂的解析几何分析，我们能得出操作6有三种解

8、的根本原因：满足要求的折痕是一个三次方程的解。也就是说，给出两个已知点和两条对应的已知线后，寻找符合要求的折痕的过程，本质上是在解一个三次方程！尺规作图到底局限在哪里相比于折纸的几何操作，尺规作图就显得有些不够“强大”了。不妨让我们先来回顾一下尺规作图里的五个基本操作：过已知两点作直线给定圆心和圆周上一点作圆寻找直线与直线的交点寻找圆与直线的交点寻找圆与圆的交点这5项操作看上去变化多端