解析几何中的坐标及坐标变换

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1、1、解析几何中的坐标及坐标变换。如图所示：平面直角坐标系的基矢彼此正交，在平面上，这组基矢是完备的，平面上任一矢量可用它们展开。当确定后，就确定了一个平面矢量，所以可以认为就是矢量在坐标系中的表示。现假设有另一直角坐标系，，它相对于顺时针转过角度，其基矢为，满足具有如下性质：所以一个矢量在两个坐标系中的表示通过一个公正变换相联系。（后面一个态矢从一个表象变换到另一表象的矩阵也是公正矩阵）2、量子态的表象——态的矩阵表示。与上述坐标变换相似，在量子力学中，按态迭加原理，任一量子态可以看成希尔伯特空间的一个“矢量”。现要问：在任一力学量的表象中

2、（即如何用的本征系表示）是如何表示的。设力学量对应的算符具有分立的本征值对应的本征函数为构成正交归一化完备系。所以可用作为表象的基矢，（相当于坐标系中的单位矢量）将按展开，即这一组就是在表象中的表示，它们分别是与各基矢的内积。（与前述）讨论：①与通常解析几何的两点不同之处。A：这里的矢量是态矢量，一般是复量。B：空间维数可以是无穷，有时甚至不可数（连续谱情况）②设，都已归一化则③而由此得出：求任意态函数在表象中表示的一般方法：写出力学量的算符的本征函数组，将按展开，得各系数，将这些系数写成列矩阵的形式。④前述假设的本征值为分立谱，若力学量除

3、了有分立本征值外，还有连续本征值（在一定范围内连续），对应的归一化本征函数是（例如，氢原子的能量本征值），则于是，在表象中仍可表示为列矩阵形式：例1：在的无限深势阱中，设某量子态为求状态在能量表象中的表示形式。解：中的无限深势阱中，能量本征态为：例2.自由粒子坐标表象中的态函数为求同一状态在动量表象中的形式。解：——坐标表象——动量表象对动量确为的自由粒子，在坐标表象中，在动量表象中动量确定的自由粒子在动量表象中必为函数。③态函数表象中的表示——表象中的表示——表象中描述同一状态的态函数它的分解式是而作为上述展开式————的基的本征函数组可

4、表示为如下单列矩阵：可见，态函数的展开系数，就像是一个矢量投影到各个基矢上的“坐标”一样，而整个这套矩阵的表述，则，可看作是普通的矢量代数的推广。