贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座：第二十四讲 配方法的解题功能

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1、第二十四讲配方法的解题功能把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．运用配方法解题的关键是恰当地“配凑”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．例题求解【例1】已知有理数x，y，z满足，那么(x—yz)2的值为

2、．(北京市竞赛题)思路点拨三元不定方程，尝试从配方法人手．【例2】若，则可取得的最小值为()A．3B．C．D．6(武汉市选拔赛试题)思路点拨通过引参，设，把x，y，z用k的代数式表示，则转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值．【例3】怎样的整数a、b、c满足不等式：．(匈牙利数学奥林匹克试题)思路点拨一个不等式涉及三个未知量，运用配方法试一试．【例4】求方程m2－2mn+14n2=217的自然数解．(上海市竞赛题)思路点拨本例是个复杂的不定方程，由等式左边的特点，不难想到配方法．【例5】求实数x、y的值，使得(y

3、－1)2+(x+y－3)2+(2x+y－6)2达到最小值．(全国初中数学联赛试题)思路点拨展开整理成关于x(或y)的二次三项式，从配方的角度探求式子的最小值，并求出最小值存在时的x、y的值．【例6】为了美化校园环境，某中学准备在一块空地(如图，矩形ABCD，AB=10m，BC=20m)上进行绿化，中间的一块(图中四边形EFGH)上种花，其他的四块(图中的四个直角三角形)上铺设草坪，并要求AC＝AH=CF=CG，那么在满足上述条件的所有设计中，是否存在一种设计，使得四边形EFGH第4页（共4页）(中间种花的一块)面积最大?

4、若存在，请求出该设计中AE的长和四边形EFGH的面积；若不存在，请说明理由．(2温州市中考题)思路点拨这是一道探索性几何应用题，解题的关键是代数化．设AE=AH=CF=CG=xm，则BE=DG=(20－x)m，四边形EFGH的面积可用x的代数式表示，利用配方法求该代数式的最大值．注配方的对象具有多样性，数，字母、等式、不等式都可以配方；同一个式于可以有不同的配方结果，可以配一个平方式，也可以配多个平方式．配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质：(1)若有限个非负数的和为0，则每一个非负数都为零；(2)非

5、负教的最小值为零．学历训练1．若，则．(2江西省中考题)2．设，，则的值等于．(“希望杯”邀请赛试题)3．分解因式：=．4，已知实数x、y、z满足，，那么=．(“祖冲之杯”邀请赛试题)5．若实数x、y满足，则的值是（）A．1B．C．D．6．已知，，，则多项式的值为()A．0B．1C．2D．3(全国初中数学竞赛题)7．整数x、y满足不等式，则x+y的值有()A．1个B．2个C．3个D．4个(“希望杯”邀请赛试题)8．化简为()A．5－4B．4－lC．5D．1(2003年天津市竞赛题)9．已知正整数a、b、c满足不等式，求a

6、、b、c的值．第4页（共4页）(江苏省竞赛题)10．已知x、y、z为实数，且满足，求的最小值．(第12届“希望杯”邀请赛试题)11．实数x、y、z满足，则的值为．12．若，则a+b+c的值为．13．x、y为实数，且，则x、y的值为x=，y=．14．已知，那么当x=，y=时，M的值最小，M的最小值为．15．已知，，则a+b＝()A．4B．0C．2D．－2(重庆市竞赛题)16．设，，则的值为()A．B．C．2D．(江苏省竞赛题)17．若a、b、c、d是乘积为l的4个正数，则代数式的最小值为()A．0B．4C．8D．1018．

7、若实数a、b、c满足，代数式的最大值是()A．27D．18C．15D．1219．已知x+y+z=1，求证：．(苏奥尔德莱尼基市竞赛题)20．已知a>b，且，a、b为自然数，求a、b的值．21．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足，，，试求△ABC的面积．22．某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果获利润最大的产晶是第k档次(最低档次为第一档次，档次依次随质量增加)，求k的值．(山东省竞

8、赛题)第4页（共4页）第4页（共4页）