贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座：第二十六讲 面积问题评说.doc

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1、第二十六讲面积问题评说平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，联系着几何图形中的重要元素边与角．计算图形的面积是几何问题中一种常见问题，求面积的基本方法有：1．直接法：根据面积公式和性质直接进行运算．2．割补法：通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题．3．等积法：根据面积的等积性质进行转化求解，常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化．4．等比法：将面积比转化为对应线段的比．熟悉以下基本图形中常见的面积关系：注等积定理：等底等高的两个三角形面积相

2、等．等比定理：(1)同底(或等底)的两个三角形面积之比等于对应高之比，同高(或等高)的两个三角形面积之比等于对应底之比；(2)相似三角形面积之比等于对应线段的平方比．例题求解【例1】在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则=．(山东省竞赛题)思路点拨本例综合了梯形、面积等丰富的知识，图形中有重要面积的关系：S△AOD=S△BOC=，S第10页（共10页）梯形ABCD=S1+S2+=(读者证明)，于是将问题转化为求梯形ABCD的

3、面积．【例2】如图，在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD＝4，CE=6，那么△ABC的面积等于()A．12B．14C．16D．18(全国初中数学联赛试题)思路点拨由中点想到三角形中位线，这样△ABC与四边形BCDE面积存在一定的关系，只要求出四边形BCDE面积即可．【例3】如图，P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，AP与CQ相交于点E，且∠PAD=∠QAD，求证：S矩形ABCD=S△APQ．(重庆市竞赛题)思路点拨把面积用相应的线段表示，面积的证明问题就转化为线段的等积式的

4、证明．注意等线段的代换．【例4】如图甲，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S△DMC、S△DAC、S△DBC分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积，当AB∥CD时，有S△DMC=·(1)如图乙，若图甲中AB不平行CD，①式是否成立?请说明理由；(2)如图丙，若图甲中A月与CD相交于点O时，问S△DMC和S△DAC和S△DBC有何种相等关系?试证明你的结论．(安徽省中考题)第10页（共10页）思路点拨对于(1)，因△DMC、△DAC、△DBC同底，要判断①式是否成立，只需寻找它们的高之间的关系：对于(2)，由于M

5、为AB中点，可利用等积变换得到相等的面积关系，通过建立含S△DMC、S△DAC、S△DBC的等式寻找它们的关系．注本例综合了三角形、梯形中位线、等积变形等知识，要求我们在动态型数学情景下进行观察、分析、探索、猜想和论证．通过强化或弱化条件，改变图形的位置等方式进一步探究问题是发展几何问题的重要途径．【例5】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP、BP、CP交BC、CA、AB于点D、E、F．求证：（1）；（2）．思路点拨过P点、A点分别作BC的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可与面积联系起来，把羔转化为面积比

6、，利用面积法证明．注有些几何问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积关联着边角两个重要元素，所以我们可从面积角度思考问题，这就是常说的面积法．用面积法解题的基本步骤是：(1)用不同方法或从不同角度计算某一图形面积，得到一个含边或舍角的关系式．(2)化简这个面积关系式，直至得到求解或求证的结果．当问题涉及三角形的高、垂线或角平分线时，不妨用面积法试一试．学力训练第10页（共10页）1．如图，是一个圆形花坛，中间的鲜花构成了一个菱形图案(图中尺寸单位为米)，如果每平方米种植鲜花20株，那么这个菱形图案中共有鲜花株．(第

7、14届“希望杯”邀请赛试题)2．如图，矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为．(2003年上海市中考题)3．如图，在△ABC中，∠B=∠CAD，，则=．(重庆市竞赛题)4．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD=b(a

8、BPC是等边三角形，则厶BPD的面积为()A．B．C．D．(武汉市选拔赛题)7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边，在△ABC外作正方形ACEF和正方形AGHB，作CK⊥AB分别交AB和GH于D和K，则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系为()A．S1=S2B．S1＞S2C．S1＜S2