数学建模 关于人口模型的倍周期现象new

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1、关于Logistic模型的倍周期收敛现象许立炜（南京邮电学院应用数理系南京210003）摘要：本文运用实验和归纳的方法，讨论了如何利用Mathmatic数学软件观察Logistic模型的倍周期收敛现象以及对初值的依赖性，并从理论上解释了倍周期收敛现象。关键词：数学模型，数学实验，差分方程一．引言我们知道描述人口（或其它生物）在有限资源环境下增长的Logistic模型（I）（见文1）其中表示时刻的人口数，表示自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数。人口较少时的增长率可以看成常数，称为固有增长率，记作，本文中.为了方便用计算机对问题求解，本文考虑Logistic的

2、离散模型，将（I）中的微分用差分形式表示，得模型（II）取步长（单位时间：年），则由（1.1）式整理得令（显然），，得离散的Logistic的模型这是一个一阶非线性差分方程，无法直接求出其一般解.但对给定的初值，我们可以利用计算机很便捷地递推算出（1.3）、（1.4）式的数值解.二．实验过程51．在时，分别取初值，，，编程迭代30次，观察数据的收敛性。下面是在Mathmatic数学软件中的程序程序1所得数据如下：迭代次数时时时10.10.100010.10000120.180.1800160.18000230.29520.295220.29520240.416

3、1140.4161310.416116……………………290.50.50.5300.50.50.5改变程序1中的取值，并且比较不同初值对应的迭代序列，可发现：时，（1）产生的迭代序列收敛于一点，且随的增大而增大；（2）初值产生的误差并不改变迭代序列的收敛及其极限值。2．将程序1中改为，迭代60次所得数据如下：迭代次数时时时10.10.100010.10000120.2880.2880260.28800330.6561790.6562140.65618340.7219460.7219110.721942……………………560.7994550.7994550.79

4、9455570.5130450.5130450.513045580.7994550.7994550.799455590.5130450.5130450.513045600.7994550.7994550.799455观察表中数据可发现：附近，（1）迭代序列有两个收敛点；（2）初值产生的误差并不改变迭代序列的收敛及其极限值。3．将程序1中改为，迭代60次所得数据如下迭代次数时时时10.10.100010.10000120.3150.3150280.31500330.7552130.7552490.755216……………………530.8269410.8269410

5、.826941540.5008840.5008840.500884550.8749970.8749970.874997560.382820.382820.38282570.8269410.8269410.826941580.5008840.5008840.500884590.8749970.8749970.874997600.382820.382820.382825观察表中数据可发现：附近，（1）迭代序列有四个收敛点；（2）初值产生的误差并不改变迭代序列的收敛及其极限值。1．将程序1中改为，迭代60次所得数据如下迭代次数时时时10.10.100010.1000

6、0120.360.3600320.36000330.92160.9216360.921604……………………550.6738080.2253120.00345026560.8791630.6981860.0137534570.424940.8428890.054257580.9774640.529710.205253590.08811210.9964690.652497600.3213930.01407290.906979观察表中数据可发现：附近，（1）迭代序列不收敛；（2）当迭代次数较高时，初值产生的误差对迭代结果产生很大的影响。2．取，步长为0.01，初值

7、，作Feigenbaum图，观察倍周期收敛现象。程序2所得图形如下观察图形可见：（1）当时，图中可见一条曲线，即迭代序列有一个收敛点；（2）大约当时，图中可见两条曲线，即迭代序列有两个收敛点；（3）大约当时，图中可见四条曲线，即迭代序列有四个收敛点；（4）大约当时，已无法看清图中的曲线分支。三．理论证明下面从理论上解释并证明上述倍周期收敛现象。定理1当时，差分方程（1.3）的平衡点稳定；当5时，差分方程（1.3）的平衡点不稳定。证由式（1.3）对应的代数方程解得平衡点，，令，由，知：为不稳定平衡点（无实际意义）；当时，为不稳定平衡点；当时，为稳定平衡点。定理1

8、表明：当时，对式（1.3）、（1.4）