数学分析(一)电子教案new

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1、数学分析（一）电子教案杨小康13第一章实数集与函数本章教学要求:1.加深理解实数的稠密性、绝对值不等式。2.深入理解一元函数的概念、分段函数的几何特性（尤其是函数有界、无界的分析定义），掌握复合函数、单调函数、奇函数和偶函数；3.理解反函数、周期函数；4.对基本初等函数和初等函数要熟练掌握其运算、几何形状，对以前没有接触过的Dirichlet函数，符号函数，Gauss函数等要熟悉。5.掌握区间与邻域、掌握和应用确界概念、确界原理。§1实数教学目的：熟练掌握实数及主要性质、绝对值概念及其不等式性质。教学内容：实数的基本性质和绝对值的不等式．基本要求：1）掌握实数的基本性质：实数的有

2、序性，稠密性，阿基米德性，实数的四则运算。2）掌握和熟练运用几个重要的绝对值不等式。一．实数及其性质：有理数：例1设正整数，若不是完全平方数，则是无理数证明：反证法。若是有理数，则可表示成：，从而整数可表示成：是完全平方数，矛盾若规定：则有限十进小数都能表示成无限循环小数。例如：记为；0记为；记为实数大小的比较定义1给定两个非负实数13其中为非负整数，。若有1）则称与相等，记为2）若存在非负整数，使得，而，则称大于（或小于），分别记为（或）。对于负实数，若按定义1有，则称或；规定任何非负实数大于任何负实数；实数的有理数近似表示定义2设为非负实数，称有理数为实数的位不足近似值，而有

3、理数称为的位过剩近似值。对于负实数的位不足近似值规定为：；的位过剩近似值规定为：比如，则1.4,1.41,1.414,1.4142,称为的不足近似值；1.5,1.42,1.415,1.4143,称为的过剩近似值。命题设为两个实数，则例2设为实数，，证明：存在有理数满足证明由存在非负整数，使得，取则显然为有理数，且实数的一些主要性质1四则运算封闭性:例设为有理数，为无理数，则是无理数。证明：反证法。若是有理数可表示成，因为有理数，也能表示成，13为有理数，矛盾2有序性:任何两个实数，必满足下述三个关系之一：3实数大小有传递性，即4Achimedes性:5稠密性:有理数和无理数的稠密

4、性.6实数集的几何表示：数轴:例i)ii)证明i)若，对任意，显然有反证法。若，取，则二.绝对值与不等式绝对值定义：从数轴上看的绝对值就是点到原点的距离。a0-a绝对值的一些主要性质性质4（三角不等式）的证明：13由此可推出三.几个重要不等式:（补充内容）(1)(2)对记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有均值不等式:等号当且仅当时成立.（3）Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)对由二项展开式课后反思：本节主要难点在于对于有理数和无理数的统一表示，重点介绍了实数的性质，以及实数和有理数的性质区别，最后特别提出了任意小的正数。例如：，§2数集.确界原理教

5、学目的：熟练掌握区间、邻域、界、确界概念、会求数集的确界、掌握确界原理及应用教学内容：13实数的区间与邻域；集合的上、下界，上确界和下确界；确界原理基本要求：1）掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，能指出其确界；2）能用定义证明集合的上确界为．即：有，且使得难点：上、下确界定义的理解、数集确界的证明一区间与邻域:设与是两个实数，且，称点集为点的邻域，记作称点集为点的去心邻域记作的右邻域的右空心邻域的左邻域的左空心邻域邻域邻域邻域13二有界数集.确界原理:1.有界数集:定义(上、下有界,有界)设S为实数R上的一个数集，若存在一个数M（L）,使得对

6、一切都有，则称S为有上界(下界)的数集。若集合S既有上界又有下界，则称S为有界集。例如，区间、为有限数）、邻域等都是有界数集，集合也是有界数集.2．无界数集:若对任意，存在，则称S为无界集。例如，，有理数集等都是无界数集,例1证明集合是无界数集.证明：对任意,存在由无界集定义，E为无界集。MM+1确界：先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确界，记作；MM2M1上确界上界同样，有下界数集有无穷多个下界，称最大下界为该数集的下确界，记作。m2mm1下确界下界13精确定义定义2设S是R中的一个数集，若数满足以下两条：（1）

7、对一切有，即是数集S的上界；（2）对任意，存在使得（即是S的最小上界），则称数为数集S的上确界。记作S定义3设S是R中的一个数集，若数满足以下两条：（3）对一切有，即是数集S的下界；（4）对任意，存在使得（即是S的最大下界），S则称数为数集S的下确界。记作例2（1）则（2）则注1由确界定义，若数集S的上（下）确界存在，则一定是唯一的，且注2由上面例子可知，数集S的确界可以属于S，也可以不属于S。例3设数集S有上确界，证明定理1.1(确界原理).设S为非空数集，若S有上界，则S必有