学习·探究·诊断 文科数学综合专题(二)测试(彩色)专题七 立体几何

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1、网址：www.longwenedu.com专题七立体几何立体几何的知识是高中数学的主干内容之一，它主要研究简单空间几何体的位置和数量关系．本专题内容分为两部分：一是点、直线、平面之间的位置关系；二是简单空间几何体的结构．在本专题中，我们将首先复习空间点、直线、平面之间的位置关系，特别是对特殊位置关系(平行与垂直)的研究；其后，我们复习空间几何体的结构，主要是柱体、锥体、台体和球等的性质与运算．§7－1点、直线、平面之间的位置关系【知识要点】1．空间直线和平面的位置关系(1)空间两条直线：①有公共点：相交，记作：a∩b＝A，其中特殊位置关系：两直

2、线垂直相交．②无公共点：平行或异面．平行，记作：a∥b．异面中特殊位置关系：异面垂直．(2)空间直线与平面：①有公共点：直线在平面内或直线与平面相交．直线在平面内，记作：aa．直线与平面相交，记作：a∩a＝A，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交．②无公共点：直线与平面平行，记作：a∥a．(3)空间两个平面：①有公共点：相交，记作：a∩β＝l，其中特殊位置关系：两平面垂直相交．②无公共点：平行，记作：a∥β．2．空间作为推理依据的公理和定理(1)四个公理与等角定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．公

3、理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．(2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理：①判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，

4、那么这两个平面互相垂直．②性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．垂直于同一个平面的两条直线平行．网址：www.longwenedu.com如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．(3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图：【复习要求】1．了解四个公理与等角定理；2．理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．【例

5、题分析】例1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、DA、D1F三线共点．【分析】对于(1)中证明“E、C、D1、F四点共面”，可由这四点连接成两条直线，证明它们平行或相交即可；对于(2)中证明“CE、DA、D1F三线共点”，可证其中两条相交直线的交点位于第三条直线上．证明：(1)连接D1C、A1B、EF．∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B，，又A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴A1D1CB是平行四边形，∴A1B∥D1C，EF∥D1C，∴E、C、

6、D1、F四点共面．(2)由(1)得EF∥CD1，，∴直线CE与直线D1F必相交，记CE∩D1F＝P，∵P∈D1F平面A1ADD1，P∈CE平面ABCD，∴点P是平面A1ADD1和平面ABCD的一个公共点．∵平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD，∴P∈AD，∴CE、DA、D1F三线共点．【评析】1、证明多点共面、多点共线、多线共面的主要依据：网址：www.longwenedu.com(1)证明多点共面常用公理2及其推论；(2)证明多点共线常用公理3，即证明点在两个平面内，从而点在这两个平面的交线上；(3)证明多线共面，首先由其中两直线确定平面，再

7、证其余直线在此平面内．2、证明a，b，c三线交于一点的主要依据：(1)证明a与b相交，c与b相交，再证明两交点重合；(2)先证明a与b相交于点P，再证明P∈c．例2在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD．【分析】要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明．证明：方法一，取PD中点E，连接AE，NE．∵底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，∴MA∥CD，.∵E是PD的中点，∴NE∥CD，

8、.∴MA∥NE，且MA＝NE，∴AENM是平行四边形，∴MN∥AE．又AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD．方法二取CD中点F，连接MF