2013年海淀一模高三数学试题(理)含答案

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1、海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理科)2013.4本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合,则A.B.C.D.2.在极坐标系中,曲线围成的图形面积为A.    B.   C.   D.3.某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入的值为5,则输出的值为A.B.C.D.4.不等式组表示面积为1的直角三角形区域,则的值为A.B.C

2、.D.5.若向量满足,则的值为A.B.C.D.6.一个盒子里有3个分别标有号码为1,2,3的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取3次,则取得小球标号最大值是3的取法有A.12种B.15种C.17种D.19种7.抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点,又点,则的最小值是A.B.C.D.8.设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4,5,6的直线.给出下列三个结论:①,使得是直角三角形;②,使得是等边三角形;③三条直线上存在四点,使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中,所有正确结论的序号是

3、A.①B.①②C.①③D.②③二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在复平面上,若复数()对应的点恰好在实轴上,则=_______.10.等差数列中,,则11.如图,与切于点,交弦的延长线于点,过点作圆的切线交于点.若,,则弦的长为_______.12.在中,若,则13.已知函数有三个不同的零点,则实数的取值范围是_____.14.已知函数,任取,定义集合:,点,满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值,记.则(1)函数的最大值是_____;(2)函数的单调递增区间为________.三、解答题:本大题

4、共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)已知函数.(Ⅰ)求的值和的最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.16.(本小题满分13分)在某大学自主招生考试中,所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.(I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数;(II)若等级A,B,C,D,E分别对应5分,4

5、分,3分,2分,1分.(i)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;(ii)若该考场共有10人得分大于7分,其中有2人10分,2人9分,6人8分.从这10人中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望.17.(本小题满分14分)在四棱锥中,平面,是正三角形,与的交点恰好是中点,又,,点在线段上,且.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:平面;(Ⅲ)求二面角的余弦值.18.(本小题满分13分)已知函数(其中为常数且)在处取得极值.(I)当时,求的单调区间;(II)若在上的最大值为,求的值.19.(本小题满分14分)已知圆:().若

6、椭圆:()的右顶点为圆的圆心,离心率为.(I)求椭圆的方程;(II)若存在直线:,使得直线与椭圆分别交于,两点,与圆分别交于,两点,点在线段上,且,求圆半径的取值范围.20.(本小题满分13分)设为平面直角坐标系上的两点,其中.令,,若,且,则称点为点的“相关点”,记作:.已知为平面上一个定点,平面上点列满足:,且点的坐标为,其中.(Ⅰ)请问:点的“相关点”有几个?判断这些“相关点”是否在同一个圆上,若在同一个圆上,写出圆的方程;若不在同一个圆上,说明理由;(Ⅱ)求证:若与重合,一定为偶数;(Ⅲ)若,且,记,求的最大值.

7、海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理)参考答案及评分标准2013.4说明:合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数.一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)题号12345678答案BCCDADBB9.010.1411.12.13.14.二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分)三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(本小题满分13分)解:(I)因为………………2分………………4分………………6分所以………………7分所以的周期为………………9分(II)当时,,

8、所以当时,函数取得最小值………………11分当时,函数取得最大值………………13分16.解:(I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人,所以该考场有人………………1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为………………3分(II)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为………………7分(Ⅲ

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