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1、精品系列资料传播先进教育理念提供最佳教学方法5.5《推理与证明》错误解题分析一、基础知识导学1.推理一般包括合情推理和演绎推理。2.合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。归纳、类比是合情推理常用的思维方法。3.归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理。4.归纳推理的一般步骤：⑴通过观察个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。5.类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似
2、性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理。6.类比推理的一般步骤：⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；⑵从一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。7.演绎推理：根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理。8.直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法──反证法。9.分析法：从原因推导到结果的思维方法。10.综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法。11.反证法：判定非q为假，推出q为真的方法。12.应用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；⑵做出与命题结论相矛盾的假定；⑶由
3、假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真。13.数学归纳法：设｛pn｝是一个与自然数相关的命题集合，如果⑴证明起始命题p1成立；⑵在假设pk成立的前提上，推出pk＋1也成立，那么可以断定，｛pn｝对一切正整数成立。14.数学归纳法的步骤：（1）证明当（如或2等）时，结论正确；（2）假设时结论正确，证明时结论也正确。二、疑难知识导析联系地址：郑州市经五路66号河南电子音像出版社有限公司邮编450002电话400-688-1789第8页共8页精品系列资料传播先进教育理念提供最佳教学方法1、归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种
4、性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理。而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理。2、应用反证法证明命题的逻辑依据：做出与命题结论相矛盾的假定，由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果3、数学归纳法是一种证明方法，归纳推理是一种推理方法。三、经典例题导讲[例1]{}是正数组成的数列,其前n项和为,并且对于所有的自然数,与2的等差中项等于与2的等比中项。(1)写出数列{}的前3项;(2)求数列{}的通项公式(写出推证过程);【错解】由(1)猜想数列{}有通项公式=4-2。下面用数学
5、归纳法证明数列{}的通项公式是=4-2。(∈N)。①当=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立。②假设n=k时结论成立,即有=4-2。由题意,有将=4-2代入上式，得，解得由题意,有将代入，化简得解得。∴这就是说,当n=k+1时,上述结论成立。根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立。【错因】在于解题过程中忽视了取值的取舍。 【正解】由(1)猜想数列{an}有通项公式an=4n-2。联系地址：郑州市经五路66号河南电子音像出版社有限公司邮编450002电话400-688-1789第8页共8页精品系列资料传播先进教育理念提
6、供最佳教学方法猜想数列{}有通项公式=4-2。下面用数学归纳法证明数列{}的通项公式是=4-2。(∈N)。①当=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立。②假设n=k时结论成立,即有=4-2。由题意,有将=4-2代入上式，得，解得由题意,有将代入，化简得解得。由∴这就是说,当n=k+1时,上述结论成立。根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立。[例2] 用数学归纳法证明对于任意自然数，【错解】证明：假设当（N）时，等式成立，即，那么当时，这就是说，当时，等式成立。可知等式对任意N成立。【错因】在于推理不严密，没有证明当的情
7、况。联系地址：郑州市经五路66号河南电子音像出版社有限公司邮编450002电话400-688-1789第8页共8页精品系列资料传播先进教育理念提供最佳教学方法【正解】证明：（1）当时，左式，右式，所以等式成立。 （2）假设当（）时，等式成立，即，那么当时，这就是说，当时，等式成立。由（1）、（2），可知等式对任意N成立。[例3] 是否存在自然数，使得对任意自然数，都能被整除，若存在，求出的最大值，并证明你的结论；若不存在，说明理由。【分析】本题是开放性题型，先求出，，…再归纳、猜想、证明。解：， ， ，……猜想，能被36整除，用数学归
8、纳法证明如下：（1）当时，，能被36整除。（2）假设当，（N）时，能被36整除。那么，当时， 联系地址：郑州市经五路66号
