用蛮力法动态规划法和贪心法求解背包问题

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1、算法设计与分析项目名称：用蛮力法、动态规划法和贪心法求解0/1背包问题作者姓名：余武丹李红波刘红梅完成日期：2013年9月20日目录第一章：简介（Introduction）第二章：算法定义（AlgorithmSpecification）第三章：测试结果（TestingResults）第四章：分析和讨论第一章：简介（Introduction）0/1背包问题是给定n个重量为{w1,w2,…,wn}、价值为{v1,v2,…,vn}的物品和一个容量为C的背包，求这些物品中的一个最有价值的子集，并且要能够装到背包中。在0/1背包问题中，物品i或者被装入背包，或者不被装入背包，设xi表示物品i装入背包的

2、情况，则当xi=0时，表示物品i没有被装入背包，xi=1时，表示物品i被装入背包。根据问题的要求，有如下约束条件和目标函数：（式1）（式2）于是，问题归结为寻找一个满足约束条件式1，并使目标函数式2达到最大的解向量X=(x1,x2,…,xn)。背包的数据结构的设计：typedefstructobject{intn;//物品的编号intw;//物品的重量intv;//物品的价值}wup;wupwp[N];//物品的数组，N为物品的个数intc;//背包的总重量第二章：算法定义（AlgorithmSpecification）1、蛮力法蛮力法是一种简单直接的解决问题的方法，常常直接基于问题的描述和

3、所涉及的概念定义。蛮力法的关键是依次处理所有的元素。用蛮力法解决0/1背包问题，需要考虑给定n个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超过背包容量的子集），计算每个子集的总价值，然后在他们中找到价值最大的子集。所以蛮力法解0/1背包问题的关键是如何求n个物品集合的所有子集，n个物品的子集有2的n次方个，用一个2的n次方行n列的数组保存生成的子集，以下是生成子集的算法：voidforce(inta[][4])//蛮力法产生4个物品的子集{inti,j;intn=16;intm,t;for(i=0;i<16;i++){t=i;for(j=3;j>=0;j--){m=t%2;a[i][j

4、]=m;t=t/2;}}for(i=0;i<16;i++)//输出保存子集的二维数组{for(j=0;j<4;j++){printf("%d",a[i][j]);}printf("");}｝以下要依次判断每个子集的可行性，找出可行解:voidpanduan(inta[][4],intcw[])////判断每个子集的可行性，如果可行则计算其价值存入数组cw,不可行则存入0{inti,j;intn=16;intsw,sv;for(i=0;i<16;i++){sw=0;sv=0;for(j=0;j<4;j++){sw=sw+wp[j].w*a[i][j];sv=sv+wp[j].v*a[i][

5、j];}if(sw<=c)cw[i]=sv;elsecw[i]=0;}在可行解中找出最优解，即找出可行解中满足目标函数的最优解。以下是找出最优解的算法：intfindmax(intx[16][4],intcv[])//可行解保存在数组cv中，最优解就是x数组中某行的元素值相加得到的最大值{intmax;inti,j;max=0;for(i=0;i<16;i++){if(cv[i]>max){max=cv[i];j=i;}}printf("最好的组合方案是：");for(i=0;i<4;i++){printf("%d",x[j][i]);}returnmax;}。2、动态规划法动态规划法将

6、待求解问题分解成若干个相互重叠的子问题，每个子问题对应决策过程的一个阶段，一般来说，子问题的重叠关系表现在对给定问题求解的递推关系（也就是动态规划函数）中，将子问题的解求解一次并填入表中，当需要再次求解此子问题时，可以通过查表获得该子问题的解而不用再次求解，从而避免了大量重复计算。动态规划法设计算法一般分成三个阶段：（1）分段：将原问题分解为若干个相互重叠的子问题；（2）分析：分析问题是否满足最优性原理，找出动态规划函数的递推式；（3）求解：利用递推式自底向上计算，实现动态规划过程。0/1背包问题可以看作是决策一个序列(x1,x2,…,xn)，对任一变量xi的决策是决定xi=1还是xi=0。

7、在对xi-1决策后，已确定了(x1,…,xi-1)，在决策xi时，问题处于下列两种状态之一：（1）背包容量不足以装入物品i，则xi=0，背包不增加价值；（2）背包容量可以装入物品i，则xi=1，背包的价值增加了vi。这两种情况下背包价值的最大者应该是对xi决策后的背包价值。令V(i,j)表示在前i(1≤i≤n)个物品中能够装入容量为j（1≤j≤C）的背包中的物品的最大值，则可以得到如下动态规划函数：V(i,0