平面直角坐标系学案

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1、第一章坐标系§1平面直角坐标系1．1　平面直角坐标系与曲线方程1．2　平面直角坐标轴中的伸缩变换课标解读1.理解平面直角坐标系的作用．2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．3.了解平面直角坐标系中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种图形的代数表示.1．平面直角坐标系与点的坐标在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的有序实数对(x，y)与之对应；反之，对于任意的一个有序实数对(x，y)，都有唯一的点与之对应．即在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的．2．平面直角坐标系与曲线方程曲线可看作是满足某些条件的点的集合

2、或轨迹，由此我们可借助平面直角坐标系，研究曲线与方程间的关系．在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．那么，方程f(x，y)＝0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)＝0的曲线．这样，我们就可以通过建立适当的平面直角坐标系，应用方程来表示许多常见的曲线，如直线的方程、圆的方程、椭圆的方程等.3．平面直角坐标系中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位

3、长度，将会对图形产生影响．1．△ABC的三个顶点是A(－3,0)，B(3,0)，C(0,3)，则中线CO(O为坐标原点)的方程是x＝0吗？【提示】　因为中线CO是一条线段，而并非一条直线，所以其方程为x＝0(0≤y≤3)，而非x＝0.2．如何建立适当的平面直角坐标系？【提示】　①如果图形有对称中心，选对称中心为坐标原点；②如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴；③使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴上；④如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程．3．如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的，圆x2＋y2＝4的图

4、形变为什么图形？伸缩变换可以改变图形的形状吗？那平移变换呢？【提示】　x2＋y2＝4的图形变为椭圆：＋y2＝1.伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不改变它的形状.利用平面直角坐标系确定位置　由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米．某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【思路

5、探究】　本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A、B、C表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解．【自主解答】　设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)．∵

6、PB

7、＝

8、PC

9、，∴点P在线段BC的垂直平分线上．kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)．①又

10、PB

11、－

12、PA

13、＝4，∴点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为－＝1(

14、x≥2)．②联立①②，解得P点坐标为(8,5)．∴kPA＝＝.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.1．由于A、B、C的相对位置一定，解决问题的关键是：如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解．2．运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题．已知某荒漠上有两个定点A、B，它们相距2km，现准备在荒漠上开垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条水沟l恰好经过点A，且与AB成30°的角，现要对整条

15、水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问：暂不加固的部分有多长？【解】　(1)设平行四边形的另两个顶点为C、D，由围墙总长为8km得

16、CA

17、＋

18、CB

19、＝4>

20、AB

21、＝2，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a＝4，焦距2c＝2的椭圆(去除落在直线AB上的两点)．以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD的面积最大，则C、D为此椭圆短轴的端点，此时，面积S＝2(km2)．

22、(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆＋＝1(y≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l：y＝(x＋1)被椭圆截得的弦长，如图．因此，由⇒13x2＋8x－32＝0，那么弦长＝

23、x