拉格朗日中值定理的应用毕业论文

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1、德州学院数学科学学院2015届数学与应用数学毕业论文目录摘要及关键词11引言12拉格朗日中值定理的介绍22.1拉格朗日中值定理22.2拉格朗日中值定理的理解22.2.1定理的条件22.2.2定理中的32.2.3定理的几何解释32.3拉格朗日中值定理的推广32.3.1柯西中值定理32.3.2泰勒定理42.4拉格朗日中值定理的推论43拉格朗日中值定理的证明53.1辅助函数证明法53.2行列式证明法63.3区间套定理证明法64拉格朗日中值定理的应用84.1定理在求极限中的应用84.2定理在证明恒等式中的应用

2、94.3定理在证明不等式中的应用104.4定理在证明积分不等式中的应用114.5定理在证明方程根存在的应用124.6定理在证明函数性质中的应用134.7定理在导函数性质中的应用145结束语14参考文献1516德州学院数学科学学院2015届数学与应用数学毕业论文拉格朗日中值定理的应用孙亚南（德州学院数学科学学院，山东德州253023）摘要：拉格朗日中值定理是微积分学的基础定理之一，它是沟通函数及其导数之间关系的桥梁.为了更好地说明拉格朗日中值定理，本文通过分析该定理的性质，深入理解了拉格朗日中值定理，并

3、构造辅助函数，证明拉格朗日中值定理的合理性.基于此，本文最后研究了该定理在数学各个方面中的应用，如求极限、不等式、恒等式、收敛，根的存在性等.关键词：拉格朗日中值定理；辅助函数；极限；收敛；根的存在性1引言至今，人们对微分中值定理的认识可以追溯到古希腊数学家在几何研究中，得到了这样的一个结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”，这正是拉格朗日中值定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德正是巧妙的利用这一结论，求出抛物线弓形的面积的.意大利卡瓦列里在《不可分量几何学》的卷中给出处理平面和立

4、体图形切线的引理，其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理.人们对微分中值定理的研究，从微积分建立的时候就开始了.1637年，著名法国数学家费马《求最大值和最小值的方法》中给出了费马定理.1691年，法国数学家罗尔《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日中值定理，并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西，他是数学分析严格

5、化运动的推动者，他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》、《微分计算教程》,以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.16德州学院数学科学学院2015届数学与应用数学毕业论文根据现在微分中值定理在国内外的研究现状，我利用有限的知识，总结了该定理在函数各个方面中的应用.首先，我给出拉格朗日中值定理的定义，分别说明该定理的

6、意义以及相关的推论，让人们对本文所讨论的内容有个初步的认识.然后，我给出三种证明拉格朗日中值定理的方法，让人们更好地理解该定理的内涵.最后，我分别讨论拉格朗日中值定理在函数各个方面的应用，并一一列举出相应的例题，进行详细地说明.2拉格朗日中值定理的介绍2.1拉格朗日中值定理[1]在介绍拉格朗日中值定理之前，我们先给出与该定理有着密切联系的一个定理–罗尔定理，该定理如下：设函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间上可导；（3），则在上至少存在一点，使得下面我们先给出拉格朗日中值定理,该定理

7、如下：如果函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间上可导；则在上至少存在一点，使得通过观察两个定理的内容，我们不难发现拉格朗日中值定理是罗尔定理更一般的情况.2.2拉格朗日中值定理的理解2.2.1定理的条件16德州学院数学科学学院2015届数学与应用数学毕业论文函数在闭区间上连续，在开区间内可导是拉格朗日中值定理中必不可少的条件，是充分而不必要的条件.如果满足这两个条件就一定能够得出结论，但是如果不满足这两个条件，则不能够得出相应的结论.2.2.2定理中的[2]根据拉格朗日中值定理的叙述

8、，我们对定理中的和“至少存在”这个词做特别的解释说明.实际上是与值相等且在开区间内存在的点，在的所有的实数解的个数就是的个数.2.2.3定理的几何解释根据拉格朗日中值定理，该定理中就是表示连接曲线上两点A，B的弦的斜率，是过曲线上一点的切线的斜率.那么，定理就可解释为在曲线上至少存在一条平行于AB的切线.2.3拉格朗日中值定理的推广为了更深刻的研究拉格朗日中值定理，下面我们给出拉格朗日中值定理的几个推广及其推论.2.3.1柯西中值定理[1]设函数和满足（