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1、二次函数复习方法75003读书时，我愿在每一个美好思想的面前停留，就像在每一条真理面前停留一样。——爱默生二次函数复习方法湖北省恩施市龙凤初中邹兴平（邮编：445003）【知识梳理、归纳要点】1.二次函数的定义：如果y=ax+bx+c(a、b、c为常数，a0),那么y叫做x的二次函数。2.二次函数的图象：二次函数y=ax+bx+c的图象是一条抛物线。3.二次函数的性质：(1)抛物线y=ax+bx+c的顶点是（-，）；对称轴是x=-。(2)当a>0时，抛物线开口向上，a〈0时，抛物线开口向下。(3)当a>0，x=-时，y有最小值；当a〈0，x=-时，y有最大值。(4)特殊
2、抛物线的性质：抛物线开口方向对称轴顶点坐标a>0a<0y=ax向上向下X=0(0,0)y=ax+c向上向下X=0(0,c)y=a(x-h)向上向下X=h(h,0)y=a(x-h)+k向上向下X=h(h,k)4.抛物线解析式的三种形式：(1)一般形式：y=ax+bx+c(a、b、c为常数，a0)。(2)顶点式：y=a(x-h)+k(a0),其中h、K分别为抛物线的顶点的横坐标、纵坐标。(3)交点式：y=a(x-x)(x-x)(a0),其中x、x为抛物线与x轴交点的横坐标。[典型例题解析]方法一、根据题目的已知条件综合分析后求解来确定字母系数的值。 例1.已知y=(k+2
3、)xk2+k-4是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，（1）求k的值；（2）根据图象指出该抛物线的对称轴和顶点坐标。 分析：（1）根据二次函数的定义：自变量的最高次数是2，且二次项系数不为0，另外又根据二次函数y=ax2的性质，当且仅当抛物线开口向上时，才有当x>0时，y随x的增大而增大，所以应满足k+2>0;（2）根据图象，结合其性质求出其对称轴和顶点坐标。解：（1）要使y=(k+2)xk2+k-4是二次函数，则∴∴k=-3或k=2①又因为当a>0时，y随x的增大而增大 ∴k+2>0即k>-2②综合①②得k=2(2)该抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0
4、）方法二、判断图象的性质时可以根据图象直接作答。二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系是互逆的，即由字母的符号能确定图象的特征，反之由图象的特征也能确定字母系数的符号。例2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，（1）试确定a、b、c、b2-4ac、2a+b、2a-b、a+b+c、a-b+c的符号；（2）求OA×OB的值（3）求△AMB的面积；（4）若OA=OC，求a,b,c之间的关系。（例2图)[分析]：由函数图象的特征，确定字母系数或与字母系数相关的代数式的值的符号，其顺序：首先由开口方向确定a的符号，再由对称轴的
5、位置及a的符号确定b的符号，由抛物线与y轴的交点的位置确定c的符号，由抛物线与y轴的交点的个数确定b－4ac的符号；若x轴上标有+1和－1，则结合函数值确定2a+b,2a－b,a+b+c,a－b+c的符号。解：（1）∵抛物线开口向下，∴a<0又∵抛物线的顶点在y轴的右侧，∴->0,而a<0,∴b>0又抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴的上方,∴c>0∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2-4ac>0又∵x=－-<1,a<0,∴2a+b<0∵x=－>-1,a<0,∴2a-b<0当x=1时，y>0,∴a+b+c>0当x=-1时,y<0,∴a-b+c<0(2)设A、B两点的坐
6、标分别为（x1，0），（x2,0）∴OA=
7、x1
8、=-x1,OB=
9、x2
10、=x2∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个不同的实数根，∴x1·x2=∴OA×OB=-x1·x2=-(3)∵AB=
11、x1-x2
12、而（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1.x2=(-)2-4.=,∵a<0,b2-4ac>0,∴
13、x1-x2
14、= ∵△AMB的面积=AB×DM= (4)∵OA=OC,∴-x1=c,即x1=-c又∵x1是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴-c是它的一个根，由方程根的定义，知ac2-bc+c=0∵c≠0,∴a、b、c之间的关系式为ac-b+1=
15、0方法三、运用数形结合的思想方法,将点的坐标与图形的几何性质(如线段的长,图形的面积等)有机的结合在一起,解决二次函数与几何的综合问题.例3、已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1(n为常数)。（1）当抛物线经过原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式。（2）设A是（1）所确定的抛物线上位于x轴下方，且是对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥X轴于B，DC⊥X轴于C。○1当BC=1时，求矩形ABCD的周长；○2试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时的
