资源描述:
《二次函数复习方法74746》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、二次函数复习方法74746本文档是本人花费多年,收集整理的,精心挑选!二次函数复习方法湖北省恩施市龙凤初中邹兴平(邮编:445003)【知识梳理、归纳要点】1.二次函数的定义:如果y=ax+bx+c(a、b、c为常数,a0),那么y叫做x的二次函数。2.二次函数的图象:二次函数y=ax+bx+c的图象是一条抛物线。3.二次函数的性质:(1)抛物线y=ax+bx+c的顶点是(-,);对称轴是x=-。(2)当a>0时,抛物线开口向上,a〈0时,抛物线开口向下。(3)当a>0,x=-时,y有最小值;当a〈0,x=-时,y有最大值。(4)特
2、殊抛物线的性质:抛物线开口方向对称轴顶点坐标a>0a<0y=ax向上向下X=0(0,0)y=ax+c向上向下X=0(0,c)y=a(x-h)向上向下X=h(h,0)y=a(x-h)+k向上向下X=h(h,k)4.抛物线解析式的三种形式:(1)一般形式:y=ax+bx+c(a、b、c为常数,a0)。(2)顶点式:y=a(x-h)+k(a0),其中h、K分别为抛物线的顶点的横坐标、纵坐标。(3)交点式:y=a(x-x)(x-x)(a0),其中x、x为抛物线与x轴交点的横坐标。[典型例题解析]方法一、根据题目的已知条件综合分析后求解来确定
3、字母系数的值。 例1.已知y=(k+2)xk2+k-4是二次函数,且当x>0时,y随x增大而增大,(1)求k的值;(2)根据图象指出该抛物线的对称轴和顶点坐标。 分析:(1)根据二次函数的定义:自变量的最高次数是2,且二次项系数不为0,另外又根据二次函数y=ax2的性质,当且仅当抛物线开口向上时,才有当x>0时,y随x的增大而增大,所以应满足k+2>0;(2)根据图象,结合其性质求出其对称轴和顶点坐标。解:(1)要使y=(k+2)xk2+k-4是二次函数,则∴∴k=-3或k=2①又因为当a>0时,y随x的增大而增大 ∴k+2>
4、0即k>-2②综合①②得k=2(2)该抛物线的对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0)方法二、判断图象的性质时可以根据图象直接作答。二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系是互逆的,即由字母的符号能确定图象的特征,反之由图象的特征也能确定字母系数的符号。例2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,(1)试确定a、b、c、b2-4ac、2a+b、2a-b、a+b+c、a-b+c的符号;(2)求OA×OB的值(3)求△AMB的面积;(4)若OA=OC,求a,b,c之间的关系。(例2图)[分析]
5、:由函数图象的特征,确定字母系数或与字母系数相关的代数式的值的符号,其顺序:首先由开口方向确定a的符号,再由对称轴的位置及a的符号确定b的符号,由抛物线与y轴的交点的位置确定c的符号,由抛物线与y轴的交点的个数确定b-4ac的符号;若x轴上标有+1和-1,则结合函数值确定2a+b,2a-b,a+b+c,a-b+c的符号。解:(1)∵抛物线开口向下,∴a<0又∵抛物线的顶点在y轴的右侧,∴->0,而a<0,∴b>0又抛物线与y轴的交点(0,c)在x轴的上方,∴c>0∵抛物线与x轴有两个不同的交点,∴b2-4ac>0又∵x=--<1,a
6、<0,∴2a+b<0∵x=->-1,a<0,∴2a-b<0当x=1时,y>0,∴a+b+c>0当x=-1时,y<0,∴a-b+c<0(2)设A、B两点的坐标分别为(x1,0),(x2,0)∴OA=
7、x1
8、=-x1,OB=
9、x2
10、=x2∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个不同的实数根,∴x1·x2=∴OA×OB=-x1·x2=-(3)∵AB=
11、x1-x2
12、而(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1.x2=(-)2-4.=,∵a<0,b2-4ac>0,∴
13、x1-x2
14、= ∵△AMB的面积=AB×DM= (4)
15、∵OA=OC,∴-x1=c,即x1=-c又∵x1是方程ax2+bx+c=0的一个根,∴-c是它的一个根,由方程根的定义,知ac2-bc+c=0∵c≠0,∴a、b、c之间的关系式为ac-b+1=0方法三、运用数形结合的思想方法,将点的坐标与图形的几何性质(如线段的长,图形的面积等)有机的结合在一起,解决二次函数与几何的综合问题.例3、已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1(n为常数)。(1)当抛物线经过原点,并且顶点在第四象限时,求出它所对应的函数关系式。(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方,且是对称轴左侧的一个动点,
16、过A作x轴的平行线,交抛物线于另一点D,再作AB⊥X轴于B,DC⊥X轴于C。○1当BC=1时,求矩形ABCD的周长;○2试问矩形ABCD的周长是否存在最大值?如果存在,请求出这个最大值,并指出此时的A点坐标,如果不存在,请说明理由。: