第2章泛函变分的基础概念(16k)

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1、第2章泛函极值问题的一些基本概念§2.1泛函的极大值和极小值问题如果函数在附近的任意点上的值都不大（小）于，也即时，则称函数在上达到极大（极小），而且在上，有（2-1）对于泛函,也有类似的定义。如果泛函在任何一条与接近的曲线上的值不大（或不小）于，也就是，如果（或）时，则称泛函在曲线上达到极大值（或极小值），而且在上，有（2-2）在这里，对于泛函的极值概念有进一步说明的必要，凡说到泛函的极大（或极小）值，主要是说泛函的相对的极大（或极小）值，也就是说，从互相接近的许多曲线来研究一个最大（或最小）的泛函值，但是曲线的接近有不同的接近度。因此，在泛函的极大极

2、小的定义里，还应说明这些曲线有几阶的接近度。如同一般函数极大（极小）讨论一样，如果泛函在曲线上有强极大（极小）值，不仅对于那些既是函数接近而且导数也接近的而言是极大（极小）值，而且对于那些只是函数接近但导数不接近的而言，也是极大（极小）值，所以泛函在曲线上是强极大（极小）值时，也必在上是弱极大（极小）值。反之，则不然，即泛函在曲线上有弱极大（极小）值时，不一定是强极大（极小）值，因为有可能对于那些只是函数接近但导数不接近的而言，有一个比函数与导数都接近的所求的极大（极小）更大（小）的极大（极小）值存在。所以弱极大（极小），不能满足强极大（极小）的要求。这

3、一概念可以推广到包含多个函数的泛函中去。§2.2求解泛函极值的欧拉方程变分法的早期工作是如何将泛函驻值问题转化为微分方程问题。当把泛函的驻值问题转化为微分方程时，第一步工作就结束了，下一步是如何求解这一微分方程。这种求解方法在实际应用上碰到很大的困难。自从里兹提出直接求泛函极值的近似法（里兹法）以后，人们才认识到直接从泛函极值出发，而避免从微分方程式出发更为有效与方便，这样的处理方法可以充分利用电子计算机的作用。于是人们研究的目标有所转移，即把原来从泛函驻值问题化为微分方程问题，转变为把微分方程问题转变为定义一个泛函，而成为泛函求驻值的问题。对于前一种问

4、题由欧拉、拉格朗日等已建立了一套比较成熟、比较系统的方法，而对于后一类问题，虽然正在大力进行工作，但尚不成熟。目前用的多的方法，还是根据微分方程物理和工程背景，采取尝试和核对的方法，即先试猜一个泛函的极值和驻值问题，然后再核对一下，看它是否与原来的微分方程问题等价。这种方法在以后的变分原理中将经常用到。现在研究最简单泛函（2-3）式的极值问题所得到的欧拉方程，其中能确定泛函极值曲线-29-的边界是固定不变的，而且有，，函数将认为是三阶可微的。（2-3）首先让我们用拉格朗日法来求泛函的变分于是有让，得（2-4）其中，而且对于固定边界条件，因为有，所以（2-

5、5）将（2-5）式代入（2-4）式，得到变分极值条件（2-6）根据变分法的基本预备定理，求得本题的欧拉方程为（2-7）这里必须指出，上式中的第二项是对的全导数，不是偏导数，且，所以（2-8）其中，，都是对的二阶偏导数。，所以欧拉方程（2-7）式也可以写成（2-9）这就是1744年欧拉所得的著名方程。该方程也被称为欧拉-拉格朗日方程。（2-9）式是关于的一个二阶微分方程，其积分常数有两个和，它的积分曲线叫做极值曲线，只有在这族极值曲线上，泛函（2-3）式才能达到极值，积分常数是由极值曲线通过这两个端点条件所决定的。-29-把泛函的变分作为泛函增量的主部，也

6、同样得到欧拉方程（2-7）式及（2-8）式。求泛函增量主部的过程实质上与求微分的过程非常相似。例如从（2-3）式，因为积分限是固定的（不变的），所以有其是从增量引起的，其主部为于是得到（2-4）式，这和拉格朗日法得到的变分表达式是相同的。这里还应指出，（2-9）式这样的欧拉方程，有下列四种特殊的情况，应该予以注意。（2）和无关，即（2-10）于是（2-9）式可以写成（2-11）上式可以简化为（2-12）一次积分后（2-13）其中为积分常数。（2）和无关，即（2-14）代入（2-7）式，得（2-15）积分得（2-16）其中为积分常数。（3）和无关，即（2-

7、17）于是欧拉方程为（2-18）它不是微分方程，不包含什么特定常数，一般情况，所讨论的变分问题不存在，只在个别的情况下，当曲线（2-18）式通过固定端点时，才存在可能达到极值的曲线。（4）是的线性函数，即（2-19）于是欧拉方程为（2-20）-29-但是（2-21）所以（2-20）式可以简化为（2-22）它也不是一个微分方程式，因为它没有项，一般说来它不满足固定端点条件，因此，变分问题根本不存在。现在我们将上述变分问题推广到含有高阶导数的泛函的极值问题和泛函变分得到的欧拉方程。我们研究泛函（2-23）的极值，其中泛函被认为对于，，，．．．，是阶可微的，并

8、且假定，端点上有固定条件（2-24）端点上不仅给出函数值，而且还给出直至阶导数的