2016届高三数学一轮复习（知识点归纳与总结）：二次函数与幂函数

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1、[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解幂函数的概念．2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．3.掌握二次函数的概念、图象特征．4.掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值．5.掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的密切关系，提高解综合问题的能力.1.以集合为载体，考查二次方程的解集，二次函数的定义域、值域或二次不等式的解集，如2012年北京T1，浙江T1等．2.以二次函数的图象为载体，利用数形结合的思想解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此有关的参数范围的问题，如2012年北京T4等．3.一元二次

2、方程根的分布也是高考考查的重点，如2012年江苏T13等.[归纳·知识整合]1．二次函数的解析式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函数的图象和性质a>0a<0图象定义域X∈R值域单调性在上递减，在上递增在上递增，在上递减奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0既不是奇函数也不是偶函数图象特点①对称轴：x＝－；②顶点：[探究]　1.ax2＋bx＋c>0(a

3、≠0)与ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件分别是什么？其几何意义如何？提示：(1)ax2＋bx＋c>0恒成立的充要条件是其几何意义是抛物线恒在x轴上方；(2)ax2＋bx＋c<0恒成立的充要条件是其几何意义是抛物线恒在x轴下方．3．幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．4．五种幂函数的图象5．五种幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)时，增x∈(－∞，0]

4、时，减增增x∈(0，＋∞)时，减x∈(－∞，0)时，减[探究]　2.为何幂函数在第四象限没有图象？幂函数的图象最多出现在几个象限内？提示：幂函数y＝xα，当x>0时，根据幂运算，幂函数y＝xα>0恒成立，所以幂函数在第四象限没有图象；幂函数的图象最多只能出现在两个象限内．3．函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝在区间(0,1)上图象的上、下位置与幂指数的大小有什么关系？提示：在区间(0,1)上幂指数越大其图象越靠下．[自测·牛刀小试]1．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为(　　)A．f(x)＝x2－1　　　　　　B．

5、f(x)＝－(x－1)2＋1C．f(x)＝(x－1)2＋1D．f(x)＝(x－1)2－1解析：选D　由图象开口向上且关于直线x＝1对称，可排除A、B选项；由图象过点(0,0)可排除C选项．2．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5在x轴上方，则a的取值范围是(　　)A.B.C.D.解析：选C　∵函数f(x)＝ax2＋x＋5在x轴上方，∴即a>.3．(教材习题改编)已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为(　　)A．[0,1]B．[1,2]C．(1,2]D．(1,2)解析：选B　如图，由图象可知m的取值范围[1,2]．4．(教材习题改编)如图

6、中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为(　　)A．－2，－，，2B．2，，－，－2C．－，－2,2，D．2，，－2，－解析：选B　由幂函数图象及其单调性之间的关系可知，曲线C1，C2，C3，C4所对应的n依次为2，，－，－2.5．(教材习题改编)下列函数是幂函数的序号是________．①y＝2x；②y＝2x－1；③y＝(x＋2)2；④y＝；⑤y＝.解析：y＝＝x，y＝＝x－故④⑤为幂函数．答案：④⑤二次函数的解析式[例1]　已知二次函数f(x)同时满足以下条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(

7、x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根的立方和等于17.求f(x)的解析式．[自主解答]　依条件，设f(x)＝a(x－1)2＋15(a<0)，即f(x)＝ax2－2ax＋a＋15.令f(x)＝0，即ax2－2ax＋a＋15＝0，则x1＋x2＝2，x1x2＝1＋.而x＋x＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2)＝23－3×2×＝2－.即2－＝17，则a＝－6.故f(x)＝－6x2＋12x＋9.在本例条件下，若g(x)与f(x)的图象关于坐标原点对称，求g(x)的解析式．解：设p(x，