新课标高考立体几何线面角的计算归类分析

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1、新课标高考立体几何——线面角的计算归类分析深圳市第二实验学校李平作者简介李平，男，1970年12月生，硕士研究生，高级教师，现任深圳市第二实验学校总务处副主任。深圳市“技术创新能手”称号、深圳市高考先进个人。在教材教法、高考研究、教材编写等方面成效显著。主持和参与省、市级课题多项，主编和参编教育类书籍多部，发表教研论文多篇，辅导学生参加各类竞赛有多人次获奖。摘要求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角,然后再用代数、三角的方法求解，这种将空间问题向平面问题转化的思想方法,是立体几何中十分重要的思想方法,同时它也

2、体现了等价转化、数形结合的思想,充分地展示了平移法、射影法、补形法这些立体几何特有方法的威力.关键词线面角空间角平移法等体积法空间向量方法线面角——直线和平面所成的角1．定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线和这个平面所成的角.若直线平面,则与所成角为;若直线平面或直线平面,则与所成角为.2．线面角的范围:.3．线面角的求法：(1)定义法(垂线法)．(2)虚拟法(等体积法).(3)平移法．(4)向量法.线面角是立体几何中的一个重要概念,它是空间图形的一个突出的量化指标,是空间位置关系的具体体现,是培养学生

3、逻辑推理能力,树立空间观念的重要途径,故线面角一直以高频率的姿态出现在历年高考试题中.求解线面角问题一般遵循(找)、证、算三个步骤,并多以棱锥与棱柱作为考查的载体.求解线面角的方法主要有两种:一是利用传统几何方法;二是利用空间向量方法.总之,求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角,然后再用代数、三角的方法求解,这种将空间问题向平面问题转化的思想方法,是立体几何中十分重要的思想方法,同时它也体现了等价转化、数形结合的思想,充分地展示了平移法、射影法、补形法这些立体几何特有方法的威力.本作者试就这一热点作一比较系

4、统的归类与分析.希望对同学们进行有针对性的训练和复习有一定的帮助.例题分析(1)定义法(垂线法):斜线与它在平面内的射影所成的角,即为线面角；解决该类问题的关键是找出斜线在平面上的射影，然后将直线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角，在某一直角三角形内求解．例1[2011·天津卷]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)证明PB∥平面ACM；(2)证明AD⊥平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切

5、值．证明：(1)连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.(2)因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，∴∠MAN是直线AM与平面A

6、BCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，所以DO＝.从而AN＝DO＝.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.【点评】求线面角,解题时要明确线面角的范围,利用转化思想,将其转化为一个平面内的角,通过解三角形来解决.求解的关键是作出垂线,即从斜线上选取异于斜足的一点作平面的垂线.有时也可采用间接法和空间向量法,借助公式直接求解.(2)虚拟法(等体积法)：线面角的求法还可以不用做出平面角．可求出线上某点到平面的距离，利用可求.即先运用等积法求点到平面的距离，后虚拟直角三角形求解.

7、例2．[2011·全国卷]如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，．（I）证明：平面；（II）求与平面所成的角的大小．（I）证明：取的中点，连接，，，，，.E∴，，.∴四边形是矩形．∴,.又∵,,.∴．∵,∴，即.同理可证:,又∵,∴平面.（II）解:线面角的求法还可以不用作出平面角,可求出线上某点到平面的距离,利用可求,故只需求点到面的距离即可.由等积转化思想可知，①，②.设点到面的距离为,点到面的距离为.由（I）问可知,平面,∴.又∵,.由②式可知,,即,.又∵平面,∴,又∵,∴.∴,又知,∴,∴.∴,又∵.由①式可知,,即,

8、.由可得,.【点评】以上解法主要运用三角形全等和等积转化的思想，思路自然，属常规通法，是高三学生应熟练掌握的基本思想和方法．(3)平移法：通过三角形的中位线或平行四边形的对边平移，计算其平行线与平面所成的角，也可平移平面．例3．[2010·山东卷]如图，在五棱锥