凯莱-哈密尔顿(caylay-camilton)定理

《凯莱-哈密尔顿(caylay-camilton)定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、现代控制理论基础第二章线性控制系统的运动分析2-1线性定常系统齐次状态方程的解设齐次向量微分方程为：其中A为n×n常系数矩阵，其解为：写成矩阵形式：式中b0、b1、b2、…bk均为n维列向量，则由待定系数法，得：考虑到初始条件：68现代控制理论基础最后得：定义状态转移矩阵：则齐次状态方程的解可写为：若初始条件为：可以令：可以求出：关于线性定常齐次状态方程的求解，也可以应用拉氏变换，即：两边拉氏变换：可见状态转移矩阵：证明：由于：68现代控制理论基础例：设系统状态方程为：试求状态方程的解。解：68现代控制理论基础2-2状态转移矩阵一：φ(t)是矩阵微分方程：的

2、唯一解。证：1）设φ(t)为状态转移矩阵，即为方程的解，把代入后，容易得证。2）若φ(t)满足则φ(t)一定是状态转移矩阵，即一定满足说明φ(t)是矩阵微分方程：的唯一解。二：φ(t)的性质证：所以：68现代控制理论基础证：考虑到X(t0)的任意性，有：在上式中，令t1=0，得：进一步写为：说明φ(t1)、φ(t2)为可交换矩阵。令t1=t2，有：(f)对于n×n阵A、B，当且仅当AB=BA时，有：三：状态转移矩阵的求法1：2：3：待定系数法1）凯莱-哈密尔顿（Caylay-Camilton）定理对于一个n×n矩阵A，若A的特征多项式为：则矩阵A满足自己的特

3、征多项式，即：68现代控制理论基础证：设B(λ)为(λI-A)的伴随阵,即:考虑到B(λ)也为n×n矩阵,各元素的最高次数不大于n-1，故：式中B0、B1、…Bn-1为n×n常系数矩阵，由于：比较系数：上式分别右乘An、An-1、…A、I，得：相加后，得：68现代控制理论基础1）凯莱-哈密尔顿定理的应用设A∈Rn×n，计算（m≥n）的值。若则其中：q(λ)为一多项式,设λ1、λ2、…λn为A的特征值，根据：可以求出α1、α2、…αn。说明关于A的一个任意次幂的多项式总可以用另一个A的多项式来表示,其最高次幂不大于n-1.例如:68现代控制理论基础例：已知：求

4、A1010解：

5、λI-A

6、=0，得A的特征值λ1=5，λ2=-2设A1010=α0I+α1A即：3）用待定系数法求φ(t)设λ1、λ2、…λn为A的n个互异特征值，则：68现代控制理论基础从中可求出α1、α2、…αn。若λi为l重特征值，则相应的l个方程为：例：求φ(t)。解：令：则：68现代控制理论基础4：利用线性变换计算φ(t)a）若或则：证：…b）若则：例：68现代控制理论基础c）若其中：则：其中：例：68现代控制理论基础d）化矩阵A为对角线矩阵对于矩阵A，称

7、sI-A

8、为矩阵A的特征多项式。

9、sI-A

10、=0为其特征方程式。特征方程式的根λ1、λ2、…

11、λn即为A的特征值。若：（λiI-A）pi=0或：λipi=Api，称pi为与λi相对应的A的特征向量。下列几种情况，可将A化为对角阵1）如果矩阵A具有如下标准形式：且A的n个特征值λ1、λ2、…λn互不相同，则利用范德蒙特矩阵P，可使成为对角阵。2）如果A有n个特征值λ1、λ2、…λn互不相同，则：P=（p1，p2，…pn），其中pi为与λi相对应的A的特征向量，可使成为对角阵，即：68现代控制理论基础例：设对应与λ1的特征向量为：设对应与λ2的特征向量为：故：3）如果矩阵A虽有相重之特征值，但由λipi=Api可解出n个独立的特征向量，则P=（p1，p2

12、，…pn），可使成为对角阵。例：68现代控制理论基础设对应与λ1、λ2的特征向量为：对应与λ3的特征向量为：故：d）化矩阵A为约当标准形下列情况下，可将矩阵A化为约当标准形1）如果矩阵A具有如下标准形式：且A的特征值λj为k重根，此时与λj相对应的约当块为：68现代控制理论基础范德蒙特矩阵P中对应部分变为：其中：例如：其特征值为λ1、λ1、λ1、λ2、λ2，此时：68现代控制理论基础而：2）一般情况下，在A的n个特征值λ1、λ2、…λn中，有n-m个互不相同，有m个为重特征值，此时，可A化为约当阵。对于互不相同之特征值，特征向量pi由Api=λipi确定；对

13、于m重特征值λj，其相应的约当块为：相应的变换矩阵部分为：其中，特征向量pj由Apj=λjpj确定；广义特征向量pj+1、pj+2、…pj+m-1、由下式确定：λjpj+1+pj=Apj+1λjpj+2+pj+1=Apj+2…λjpj+m-1+pj+m-2=Apj+m-1例：设：特征值λ1=2、λ2=λ3=1，试化A为约当阵。解：由λ1p1=Ap1得：p1=[2，-1，-2]T68现代控制理论基础由λ2p2=Ap2得：p2=[1，-3/7，-5/7]T由λ2p3+p2=Ap3得：p3=[1，-22/49，-46/49]Td）模式矩阵68现代控制理论基础当矩阵

14、A出现共轭复数根λ1、2=σ±jω时，可将A化为模式