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1、数列综合题 一、填空题 1.各项都是正数的等比数列{an},公比q1,a5,a7,a8成等差数列,则公比q= 2.已知等差数列{an},公差d0,a1,a5,a17成等比数列,则= 3.已知数列{an}满足Sn=1+,则an= 4.已知二次函数f(x)=n(n+1)x2-(2n+1)x+1,当n=1,2,…,12时,这些函数的图像在x轴上截得的线段长度之和为 5.已知数列{an}的通项公式为an=log(n+1)(n+2),则它的前n项之积为 6.数列{(-1)n-1n2}的前n项之和为
2、 7.一种堆垛方式,最高一层2个物品,第二层6个物品,第三层12个物品,第四层20个物品,第五层30个物品,…,当堆到第n层时的物品的个数为 8.已知数列1,1,2,…,它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到,则该数列前10项之和为 9.在2和30之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等比中项为 10.已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,
3、1),(1,5),(2,4),……,则第60个数对为 11.设等差数列{an}的前n项和是Sn,若a5=20-a16,则S20=___________. 12.若{an}是等比数列,a4·a7=-512,a3+a8=124,且公比q为整数,则a10等于___________. 13.在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,a1a2…an=n2恒成立,则a3+a5=___________. 14.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)-na+an+1an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式
4、是an=___________. 二.解答题 1.已知数列{an}的通项公式为an=3n+2n+(2n-1),求前n项和。 2.已知数列{an}是公差d不为零的等差数列,数列{abn}是公比为q的等比数列,b1=1,b2=10,b3=46,,求公比q及bn。 3.已知等差数列{an}的公差与等比数列{bn}的公比相等,且都等于d(d>0,d1),a1=b1,a3=3b3,a5=5b5,求an,bn。
5、 1.有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为216,后三个数成等差数列,其和为36,求这四个数。 5.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求{an}的通项公式. 6.在等差数列{an}中,a1=13,前n项和为Sn,且S3=S11,求Sn的最大值. 参考答案 1.2.3.,相减得an=故an=- 4. 5
6、.log2(n+2)6.(-1)n-17.n2+n8.9789.6 10.(5,7) 规律:(1)两个数之和为n的整数对共有n-1个。(2)在两个数之和为n的n-1个整数对中,排列顺序为,第1个数由1起越来越大,第2个数由n-1起来越来越小。设两个数之和为2的数对方第1组,数对个数为1;两个数之和为3的数对为第二组,数对个数2;……,两个数之和为n+1的数对为第n组,数对个数为n。 ∵1+2+…+10=55,1+2+…+11=66 ∴第60个数对在第11组之中的第5个数,从而两数之和为12,应为(5,7
7、) 11.200.a1+a20=a5+a16=20,∴S20==10×20=200. 12.512.∵a3+a8=124,又a3·a8=a4·a7=-512, 故a3,a8是方程x2-124x-512=0的两个根. 于是,a3=-4,a8=128,或a3=128,a8=-4. 由于q为整数,故只有a3=-4,a8=128 因此-4·q5=128,q=-2.所以a10=a8··q2=128×4=512. 13..a1a2…an=n2,∴a1a2…an-1=(n-1)2. 两式相
8、除,得(n≥2).所以,a3+a5=. 14..所给条件式即(an+1an)[(n+1)an+1-nan]=0,由于an+1an>0,所以(n+1)an+1=nan, 又a1=1,故nan=(n-1)an-1=(n-2)an-2=…=2a2=a1=1,∴an=. 三、解答题 1.Sn=a1+a2+…+an=(31+21+1)+(32+22+3)+…+[3n+2n+(2n-1)]=(31+32+…