第一讲 分式的化简与求值

第一讲 分式的化简与求值

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时间:2018-07-18

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1、第一讲分式的化简与求值  分式的有关概念和性质与分数相类似,例如,分式的分母的值不能是零,即分式只有在分母不等于零时才有意义;也像分数一样,分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变,这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据.在分式运算中,主要是通过约分和通分来化简分式,从而对分式进行求值.除此之外,还要根据分式的具体特征灵活变形,以使问题得到迅速准确的解答.本讲主要介绍分式的化简与求值.  例1化简分式:  分析直接通分计算较繁,先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式,再化简将简便得多.          =[(2a+1)-(a-3)-(3

2、a+2)+(2a-2)]              说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式.  例2求分式  当a=2时的值.  分析与解先化简再求值.直接通分较复杂,注意到平方差公式:  a2-b2=(a+b)(a-b),  可将分式分步通分,每一步只通分左边两项.        例3若abc=1,求  分析本题可将分式通分后,再进行化简求值,但较复杂.下面介绍几种简单的解法.  解法1因为abc=1,所以a,b,c都不为零.       解法2因为abc=1,所以a≠0,b≠0,c≠0.          例4化简分式:   分析与解三个分式一齐

3、通分运算量大,可先将每个分式的分母分解因式,然后再化简.    说明    互消掉的一对相反数,这种化简的方法叫“拆项相消”法,它是分式化简中常用的技巧.  例5化简计算(式中a,b,c两两不相等):   似的,对于这个分式,显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c),而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c),因此有下面的解法.  解    说明本例也是采取“拆项相消”法,所不同的是利用  例6已知:x+y+z=3a(a≠0,且x,y,z不全相等),求    分析本题字母多,分式复杂.若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0,那么题目只与x-a,y-a,z-a

4、有关,为简化计算,可用换元法求解.  解令x-a=u,y-a=v,z-a=w,则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0.  由于x,y,z不全相等,所以u,v,w不全为零,所以u2+v2+w2≠0,从而有     说明从本例中可以看出,换元法可以减少字母个数,使运算过程简化.  例7化简分式:               适当变形,化简分式后再计算求值.       (x-4)2=3,即x2-8x+13=0.  原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10      =x2(x2-8x+13)+2x(x2

5、-8x+13)+(x2-8x+13)+10      =10,  原式分母=(x2-8x+13)+2=2,    说明本例的解法采用的是整体代入的方法,这是代入消元法的一种特殊类型,应用得当会使问题的求解过程大大简化.    解法1利用比例的性质解决分式问题.  (1)若a+b+c≠0,由等比定理有    所以  a+b-c=c,a-b+c=b,-a+b+c=a,  于是有    (2)若a+b+c=0,则  a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b, 于是有    说明比例有一系列重要的性质,在解决分式问题时,灵活巧妙地使用,便于问题的求解.  解法2设参数法.令 

6、   则  a+b=(k+1)c,①  a+c=(k+1)b,②  b+c=(k+1)a.③  ①+②+③有  2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c),  所以(a+b+c)(k-1)=0,  故有k=1或a+b+c=0.  当k=1时,      当a+b+c=0时,  说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件,可使已知条件便于使用.练习四  1.化简分式:   2.计算:  3.已知:(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2,  的值.

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