离散时间信号处理奥本海姆第二版课后答案第八章

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1、第八章离散傅立叶变换8.1假设是一个周期的连续时间信号，其周期为1ms，它的傅立叶级数为.对于，傅立叶系数为零，以采样间隔对采样得到：.(a)是周期的吗？如果是，周期为多少？(b)采样率是否高于奈奎斯特采样率，也就是说T是否充分小而且可以避免混叠？(c)利用求出的离散傅立叶级数系数。解：（a）而是周期的，周期为6。（b）而采样频率为所以T足够小，而可以避免混叠。（c）8.2设是一个周期为N的周期序列，还是一个周期为3N的周期序列。令表示作为周期为N的周期序列的的DFS系数，表示作为周期为3N的周期序列的的DFS系数。(a)用表示出。(b)用公式计算和，当为图P8.2中给定的序列时

2、，证明你在(a)中得出的结果。解:(a)由DFS的分析式可得:而令则==(b)===当时,8.3在推导DFS的分析式（8.11）中我们用到了等式（8.7）。为了证明这个等式，我们分别考虑和这两种条件。（a）当时，证明，并由此证明：，因为在等式（8.7）中和都是整数，所以用来替换并且考虑到求和式因为这是几何级数中有限项的求和，写成闭合形式（P8.3）（b）取何值时，式（P8.3）右边为不定式，即分子和分母都为零。（c）由（b）的结果证明：当时，（a）证明：（b）有限项求和可以写成闭式：当，即，m为整数时，上式右边为不定式。（c）证明：当时，令，（0

3、a）做变量代换，可得：。（b）其中：。（c）。8.5(a)在表8.1中我们列出了许多周期序列离散傅立叶级数的对称性质，下面我们重新列出其中的几个。试证明下列每个性质均是正确的。证明中你可以利用离散傅立叶级数的定义和表中列出的任何性质（如在证明性质3中可利用性质1和2）。序列离散傅立叶级数1.2.3.4.（a）由在（a）中证明过程的性质，证明对于一个实周期序列，下列离散傅立叶级数的对称性质成立：1.2.3.4.，其中，。解：（a）性质1：性质2：性质3：性质4：（b）对实周期序列，有8.6(a)图P8.6-1表示两个周期N=7的周期序列和。求序列的，使其DFS等于的DFS和的DFS

4、的乘积，即(b)图P8.6-2表示一个周期序列，其周期N=7。求序列的，使其DFS等于的DFS和的DFS的乘积，即解:(a)由DFS的周期卷积性质可知:(b)同理可得:8.7图P8.7画出几个不同周期序列，这些序列可以用傅立叶级数表示为：（a）哪一个序列可以通过选择时间起始点使所有的都为实数？（b）哪一个序列可以通过选择时间起始点使所有的都为虚数（k为N的整数倍除外）？（c）哪一个序列有，图P8.7解：（a）要使所有的为实数，既要求，由DFS的性质可以知道，则必须。又因为是实序列，所以要求，故图P8.7中的第二个序列通过选择时间原点使所有的为实数。（a）要使所有的为虚数，既要求，

5、由DFS的性质可以知道，则必须。又因为是实序列，所以要求，故图中没有一个序列能够满足使所有的为虚数的条件。（b）对应图P8.7中的第一个序列，可以写出：当。对于第三个序列，它是第一个序列减去平移4位后的序列，那么：当。8.8解：（1），即：其中：。（2），其中：。（3）的傅立叶变换。即：。即得到结果。8.9考虑由式给出的序列。周期序列由用下列方式构成：。（a）求的傅立叶变换（b）求的离散傅立叶变换。（c）和有何联系？解：（a）（b）则有（c）由（a），（b）可知。8.10考虑一个长度为N的有限长序列即，在之外表示的傅立叶变换。表示由的64个等间隔样本构成的序列，即已知在范围内，，

6、而其余值均为零。(a)如果序列长度N=64，按照给定的信息求出序列。说明答案是否是唯一的。如果是，请解释清楚原因。如果不是，请给出第二种不同的选择。(b)如果序列长度N=192=3х64，求序列，使其在的范围内，而其余值为零。说明答案是否是唯一的。如果是，请解释清楚原因。如果不是，请给出第二种不同的选择。解:(a)因为的采样数,所以不会产生时间混叠.因为没有发生时间混叠,所以答案是唯一的.(b)因为序列长度192大于对的采样频率64,所以会发生时间混叠.同上有所以答案不唯一.下面试举其中两种可能的结果:还可以有其他的情况.8.11计算下面每一个长度为N（N为偶数）的有限长序列的D

7、FT:（a）（b），（c）（d）（e）解：（a）当时，（b）当时，（c）当时，（a）当时，（b）当时，8.12解：（a）设，，即有：；；其中，。即：。（b）；即：。（c）对于（为整数），则：。8.13用的采样率对一个连续时间信号进行采样，并计算出1024个样本点的DFT，求两个谱样本点之间的频率间隔，并证明你的答案是正确的。解：采样率为10kHz，即绕单位圆一周为10kHz1024个点的离散傅立叶变换相当于将单位圆等分为1024个点两个谱样本点之间的频率间隔为。8.14一个有限长