最优化方法教案new

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1、第一章最优化问题与数学预备知识最优化分支：线性规划，整数规划，几何规划，非线性规划，动态规划。又称规划论。应用最优化方法解决问题时一般有以下几个特点：1.实用性强2.采用定量分析的科学手段3.计算量大，必须借助于计算机4.理论涉及面广 应用领域：工业，农业，交通运输，能源开发，经济计划，企业管理，军事作战……。34§1.1最优化问题实例最优化问题：追求最优目标的数学问题。经典最优化理论：（1）无约束极值问题：（或）其中，是定义在n维空间上的可微函数。解法（求极值点）：求驻点，即满足并验证这些驻点是否极值点。（2）约束极

2、值问题：s.t.解法：采用Lagrange乘子法，即将问题转化为求Lagrange函数的无约束极值问题。近代最优化理论的实例：例1(生产计划问题)设某工厂有3种资源B1，B2，B3，数量各为b1，b2，b3，要生产10种产品A1，…，A10。每生产一个单位的Aj需要消耗Bi的量为aij，根据合同规定，产品Aj的量不少于dj34，再设Aj的单价为cj。问如何安排生产计划，才能既完成合同，又使总收入最多？（线性规划问题）数学模型：设Aj的计划产量为，z为总收入。目标函数：约束条件：线性规划问题通常采用单纯形法来求解。例2(

3、工厂设址问题)要在m个不同地点计划修建m个规模不完全相同的工厂，他们的生产能力分别是（为简便起见，假设生产同一种产品），第i个工厂的建设费用。又有n个零售商店销售这种产品，对这种产品的需求量分别为，从第i个工厂运送一个单位产品到第j个零售商店的运费为cij。试决定应修建哪个工厂，使得既满足零售商店的需求，又使建设工厂和运输的总费用最小。（混合整数规划问题）数学模型：设第i个工厂运往第j个零售商店的产品数量为xij（i=1，…，m；j=1，…，n），且目标函数：34约束条件：整数规划问题通常可用分枝定界法或割平面法来求解

4、。例3(投资计划问题)假设某一个生产部门在一段时间内可用于投资的总金额为亿元，可供选择的项目总共有n个，分别记为1，2，…n。并且已知对第j个项目的投资总数为亿元，而收益额总数为亿元。问如何使用资金亿元，才能使单位投资获得的收益最大。（非线性规划问题）数学模型：设目标函数：约束条件：非线性规划问题的求解方法很多，是本课的重点。动态规划是解决“多阶段决策过程”的最优化问题的一种方法，基于“Bellman最优性原理”34，例如：资源分配问题，生产与存储问题。例4(多参数曲线拟合问题)已知热敏电阻依赖于温度的函数关系为（*）

5、其中，是待定的参数，通过实验测得和的15组数据列表如下，如何确定参数？i12345678505560657075808534.7828.6123.6519.6316.3713.7211.549.744i910111213141590951001051101151208.2617.036.0055.1474.4273.823.307建立数学模型：测量点与曲线对应的点产生“偏差”，即得如下无约束最优化问题：通常采用最小二乘法。34§1.2最优化问题的数学模型一、最优化问题的数学模型1.定义1：设向量.若，则记或；若，则记或

6、。2．一般模型：，（1）s.t.其中，；，，是关于变量的实值连续函数，一般可假定它们具有二阶连续偏导数。3．向量模型：，（1）s.t.其中，称为目标函数；，称为约束函数；满足约束条件（2），（3）的点称为容许解或容许点（或可行解）；容许解的全体称为容许域（或可行域），记为R；满足（1）的容许点称为最优点或最优解（或极小（大）点），记为；称为最优值；34不带约束的问题称为无约束问题，带约束的问题称为约束问题；若目标函数，约束函数，都是线性函数，则称为线性规划；若其中存在非线性函数，则称为非线性规划；若变量只取整数，称为整

7、数规划；若变量只取0，1，称为0—1规划。注：因，，则最优化问题一般可写成一、最优化问题的分类§1.3二维问题的图解法例1.解：1.由全部约束条件作图，求出可行域R：凸多边形OABC342.作出一条目标函数的等值线：设，作该直线即为一条目标函数的等值线，并确定在可行域内，这条等值线向哪个方向平移可使值增大。3.平移目标函数等值线，做图求解最优点，再算出最优值。顶点是最优点，即最优解，最优值。分析：线性规划问题解的几种情况（1）有唯一最优解（上例）；（2）有无穷多组最优解：目标函数改为（3）无可行解：增加约束，则。（4）

8、无有限最优解（无界解）：例结论：（1）线性规划问题的可行域为凸集，特殊情况下为无界域或空集。（2）线性规划问题若有最优解，一定可在其可行域的顶点上得到。例2.解：目标函数等值线：C为最优点，得34定义2：在三维及三维以上的空间中，使目标函数取同一常数的点集称为等值面。§1.4预备知识（一）线性代数一、n维向量空间1.向量的内积：设