第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷

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1、智浪教育---普惠英才文库第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限.解因为………（2分）；原式…………………………………………………………………………………………(2分)；………(2分)2.证明广义积分不是绝对收敛的解记，只要证明发散即可。…………………………（2分）因为。……………（2分）而发散，故由比较判别法发散。……………………………………（2分）3.设函数由确定，求的极值。解方程两边对求导，得…………………（1分）故，令，得或………（2分

2、）将代入所给方程得，将代入所给方程得，………………………………………（2分）6智浪教育---普惠英才文库又，故为极大值，为极小值。………………………………（3分）4.过曲线上的点A作切线，使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的面积为，求点A的坐标。解设切点A的坐标为，曲线过A点的切线方程为………………………………………………………………………………………（2分）；令，由切线方程得切线与轴交点的横坐标为。从而作图可知，所求平面图形的面积，故A点的坐标为。…………………………………………………………（4分）二、（满分12

3、）计算定积分解…………………………………（4分）……………………（2分）…………………………………………………………………（4分）…………………………………………………………（2分）6智浪教育---普惠英才文库三、（满分12分）设在处存在二阶导数，且。证明：级数收敛。解由于在处可导必连续，由得………………………………………………（2分）…………………………………………（2分）由洛必塔法则及定义………………………（3分）所以…………………………………（2分）由于级数收敛，从而由比较判别法的极限形式收敛。……（3分）四

4、、（满分12分）设，证明解因为，所以在上严格单调增，从而有反函数………………………………………………………………………………………（2分）。设是的反函数，则………（3分）又，则，所以…（3分）……………………（2分）6智浪教育---普惠英才文库五、（满分14分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分。试确定曲面，使积分I的值最小，并求该最小值。解记围成的立体为V，由高斯公式………………（3分）为了使得I的值最小，就要求V是使得的最大空间区域，即取，曲面………（3分）为求最小值，作变换，则，从而…………

5、………………………………（4分）使用球坐标计算，得…………………………（4分）六、（满分14分）设，其中为常数，曲线C为椭圆，取正向。求极限解作变换（观察发现或用线性代数里正交变换化二次型的方法），曲线C变为平面上的椭圆（实现了简化积分曲线），也是取正向…（2分）而且（被积表达式没变，同样简单！），6智浪教育---普惠英才文库………………………………………………………………（2分）曲线参数化，则有，…（3分）令，则由于，从而。因此当时或时………（2分）而…（3分）。故所求极限为…………………（2分）七（满分14分）

6、判断级数的敛散性，若收敛，求其和。解（1）记因为充分大时………………（3分）所以，而收敛，故收敛…（2分）6智浪教育---普惠英才文库（2）记，则=……………………（2分）=……………………（2分）=…………………………（2分）因为，所以，从而，故。因此。（也可由此用定义推知级数的收敛性）……………（3分）6