历届全国大学生数学竞赛预赛试卷

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1、全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.2．设是连续函数，且满足，则____________.3．曲面平行平面的切平面方程是__________.4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则________________.二、（5分）求极限，其中是给定的正整数.三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性.四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证

2、：（1）；（2）.五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线过原点.当时，，又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定，使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知满足，且，求函数项级数之和.八、（10分）求时，与等价的无穷大量.112010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、（25分，每小题5分）（1）设，其中求（2）求.（3）设，求.（4）设函数有二阶连续导数，，求.（5）求直线与直线的距离.二、（15分）设函数在上具有二阶导数，

3、并且，，，且存在一点，使得.证明：方程在恰有两个实根.三、（15分）设函数由参数方程所确定，且，其中具有二阶导数，曲线与在出相切，求函数.四、（15分）设，证明：（1）当时，级数收敛；（2）当且时，级数发散.五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均匀椭球（其中，密度为1）绕旋转.（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值.11六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数.（1）设为正向闭曲线，证明；（2）求函数；（3）设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求.

4、112011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）（1）求；（2）.求；（3）已知，求.二、（本题10分）求方程的通解.三、（本题15分）设函数在的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为0，证明：存在唯一一组实数，使得.四、（本题17分）设，其中，，为与的交线，求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.五、（本题16分）已知是空间曲线绕轴旋转形成的椭球面的上半部分（）（取上侧），是在点处的切平面，是原点到切平面的距离，表示的正法向的方向余弦.计算：（1）；（2）

5、六、（本题12分）设是在内的可微函数，且，其中，任取实数，定义，证明：绝对收敛.七、（本题15分）是否存在区间上的连续可微函数，满足，，?请说明理由.112012年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.（1）求极限.（2）求通过直线的两个互相垂直的平面和，使其中一个平面过点.（3）已知函数，且.确定常数和，使函数满足方程.（4）设函数连续可微，，且在右半平面与路径无关，求.（5）求极限.二、（本题10分）计算.三、（本题10分）求方程的近似解，精确

6、到0.001.四、（本题12分）设函数二阶可导，且，，，求，其中是曲线上点处的切线在轴上的截距.五、（本题12分）求最小实数，使得满足的连续函数都有.六、（本题12分）设为连续函数，.区域是由抛物面和球面所围起来的部分.定义三重积分，11求的导数.七、（本题14分）设与为正项级数，证明：（1）若，则级数收敛；（2）若，且级数发散，则级数发散.2013年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、解答下列各题（每小题6分，共24分，要求写出重要步骤）1.求极限.2.证明广义积分不是绝对收敛的.3.设函数由确定，求的极值.4.过曲

7、线上的点作切线，使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的面积为，求点的坐标.二、（满分12分）计算定积分.三、（满分12分）设在处存在二阶导数，且.证明：级数收敛.四、（满分12分）设，证明.五、（满分14分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分.试确定曲面，使积分的值最小，并求该最小值.六、（满分14分）设，其中为常数，曲线为椭圆，取正向.求极限.七、（满分14分）判断级数的敛散性，若收敛，求其和.112014年第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（共有5小题，每题6分，共30分）1.已知和是齐次二

8、阶常系数线性微分方程的解，则该方程是.2.设有曲面和平面.则与平行的的切平面方程是.3.设函数由方程所确定.求.4.设，则.5.已知，则.二、（本题12分）设为正整数，计算.三、（本题14分）设函数在上有二阶导数，且有正常数使得，.证明：对任意，有