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时间:2018-07-18
《数学经典易错题会诊与高考试题预测10》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、经典易错题会诊与2012届高考试题预测(十)考点10空间直线与平面►空间直线与平面的位置关系►空间角►空间距离►简单几何体►利用三垂线定理作二面角的平面角►求点到面的距离►折叠问题经典易错题会诊命题角度1空间直线与平面的位置关系1.(典型例题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F.(1)证明:PA//平面EDB;(2)证明:BP⊥平面EFD;(3)求二面角C—PD—D的大小.[考场错解]第(2)问证明:∵PD=DC,E为PC的中点,∴DE⊥PC,∴DF在平
2、面PBC上的射影为EF,又由已知EF⊥PB,所以根据三垂线定理可得:DF⊥PB,又EF⊥PB,∴PB⊥平面EFD。[专家把脉]直线在平面上的射影的概念理解错误,只有DE⊥PC,不能得出EF为DF在面PBC上的射影,应先证明DE⊥平面PBC,才能得出EF为DF在面PBC上的射影,再利用三垂线定理。[对症下药](1)如图,连接AC、AC交BD于O,连接EO。∵底面ABCD为正方形,∴O为AC的中点,在△PAC中,EO是中位线,∴PA//EO,又EO平面EDB,且PA平面EDB,所以PA//平面EDB;(2)∵PD⊥平面ABCD,∴平面PDC⊥平
3、面ABCD,又底面ABCD为正方形,∴BC⊥CD,∴BC⊥平面PCD,∴BC⊥DE,又DE⊥PC,∴DE⊥平面PBC,∴DF在平面PBC上的射影为EF,又EF⊥PB,∴DF⊥PB,又PB⊥EF,∴PB⊥平面DEF;(3)由(2)知,PB⊥DF,故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。由(2)知,DE⊥EF,PD⊥DB,设正方形ABCD的边长为a则PD=DC=a,BD=a,PB=a,PC=a,DE=PC=,在Rt△PDBk,OF=.在Rt△EFD中,sin∠EFD=,∴∠EFD=所以二面角C—PB—D的大小为232.(典型例题)下列五个正方体
4、图形中,l是正方体的一条对角线,点M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出l⊥面MNP的图形的序号是_________.(写出所有符合要求的图形序号)[考场错解]由于l在MN、NP、MP所在的面内的射影分别为各面正方形的对角线,由正方形的性质可得l⊥MN,l⊥MP,l⊥NP,∴(1)中l⊥面MNP;(2)中l在下底面的射影与MP垂直,∴l⊥MP,∴l⊥面MNP;(3)中取AB的中点E,连接ME、NE,∵l在下底面的射影垂直于EN,∴l⊥EN,∴l⊥面MEN,∴l⊥MN,同理l⊥MP,∴l⊥面MNP;(4)中l在面ADD1A1上的射影与MP垂直
5、,∴l⊥MP,∴l⊥面MNP;(5)中取AA1中点E,连接ME,EP,l在面ADD1A1、面ABB1A1内的射影分别与ME,EP垂直,∴l⊥ME,∴l⊥面MP,得l⊥面MPN;综合知,本题的答案是(1)、(2)、(3)、(4)、(5)[专家把脉]直线与平面垂直的判定有误,证一条直线与一个面垂直,应该证明这条直线与该平面内的两条相交直线垂直,而错解中只证一条垂直,所以出错。[对症下药](1)中l在面ADD1A、A1B1C1D1,内的射影分别为AD1,B1D1,而AD1⊥MN,B1D1⊥MP,∴l⊥MN,l⊥MP,∴l⊥面MNP;(2)中若l⊥
6、MN,则取AA1的中点E,连接ME、NE,l在面ADD1A1内的射影为AD1而AD1⊥ME,∴l⊥ME,结合l⊥MN,得l⊥面MEN,∴l⊥NE,这显然不可能,∴l与MN不可能垂直,∴l与面MNP不垂直;(3)类似(2)的证明,可得l与面MNP不垂直;(4)中l⊥MP易证,而MN∥AC,l⊥AC,∴l⊥MN,∴l⊥面MNP;(5)中取AA1中点E,连接ME,PE,可证得l⊥面MEP,∴l⊥MP,同理可证l⊥NP,∴l⊥面MNP,综上知,本题的正答案是(1)、(4)、(5)。3.(典型例题)如图10-4所示,在正三棱锥A—BCD中,∠BAC=
7、30°,AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于E、F、G、H。(1)判定四边形EFGH的形状,并说明理由;(2)设P是棱AD上的点,当AP为何值时,平面PBC⊥平面EFGH,请给出证明。[考场错解](1)∵AD∥平面EFGH,又平面ACD平面EFGH=HG,∴AD∥HG,同理AD∥EF,∴EF∥HG,同理EH∥FG,∴四边形EFGH为平行四边形;(2)取AD中点P,连接BP、CP,∵ABCD为正棱锥,所以BP⊥AD,CP⊥AD,∴AD⊥面BCP,又由(1)知HG∥AD,∴HG⊥面BCP,∴P为所求,此时AP=
8、.[专家把脉]正三棱锥的性质不熟悉而出错,正三棱锥的相对的棱互相垂直;正三棱锥的三个侧面是等腰三角形不是等边三角形。[对症下药](1)∵AD∥面EFGH,面ACD面EFGH=HG
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