阳光家教数学数论问题解析3

《阳光家教数学数论问题解析3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、找寒假家教，到阳光家教网2-4数学竞赛中的数论问题（09-10-28）数论是研究自然数的一个数学分支.一、数学竞赛中数论问题的基本内容主要有8个定义、15条定理.定义1（带余除法）给定整数如果有整数满足，则和分别称为除以的商和余数．特别的，时，则称被整除，记作，或者说是的倍数，而是的约数．定义2（最小公倍数）非零整数的最小公倍数是能被其中每一个所整除的最小正整数，记作．定义3（最大公约数）设整数中至少有一个不等于零，这个数的最大公约数是能整除其中每一个整数的最大正整数，记作．定理1对任意的正整数，有．定义4如果整数满足，则称与是互素的（以前也称为互质）．定义5大于1且除1及其自身外没

2、有别的正整数因子的正整数，称为素数（以前也称为质数）．其余大于1的正整数称为合数；数1既不是素数也不是合数．定理2素数有无穷多个，2是唯一的偶素数．定义6对于整数，且，若，则称关于模同余，记作若则称关于模不同余，记作．定理3（整除的性质）设整数为非零整数，（1）若，，则；（2）若，则；（3）若，，则对任意整数，有；13北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台找寒假家教，到阳光家教网（1）若，且，则；（2）若，且，则（3）若为素数，且，则或．定理4（同余的性质）设为整数，（1）若且，则；（2）若且，则且．（3）若，则对任意的正整数有，且；（4）若，且对非零整数有，则．定理5设

3、为整数，为正整数，（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则．定义7设为正整数，为大于2的正整数,是小于的非负整数，且．若，则称数为的进制表示．定理6给定整数，对任意的正整数，都有唯一的进制表示．定理7任意一个正整数与它的十进制表示中的所有数字之和关于模9同余．定理8（分解唯一性）每个大于1的正整数都可分解为素数的乘积，而且不计因数的顺序时，这种表示是唯一的.13北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台找寒假家教，到阳光家教网定理9若正整数的素数分解式为则的约数的个数为，的一切约数之和等于．定义8对任意实数，是不超过的最大整数．亦称为的整数部分，．定理10在正整数的素因子分解

4、式中，素数作为因子出现的次数是定理11如果素数不能整除整数，则．定理12设为素数，对任意的整数，有．定理13设正整数，则不大于且与互素的正整数个数为．定理14整系数二元一次方程存在整数解的充分必要条件是．定理15若是整系数二元一次方程的一个整数解，则方程的一切整数解可以表示为二.数学竞赛中数论问题的重点类型主要出现8类问题.：1.奇数与偶数（奇偶分析法、01法）；2.约数与倍数、素数与合数；13北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台找寒假家教，到阳光家教网3.平方数；4.整除；5.同余；6.不定方程；7.数论函数、高斯函数、欧拉函数；8.进位制（十进制、二进制）.三.例题

5、选讲例1有100盏电灯，排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码1，2，…，99，100.每盏灯由一个拉线开关控制着.最初，电灯全是关着的.另外有100个学生，第一个学生走过来，把凡是号码为1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第2个学生走过来，把凡是号码为2的倍数的电灯的开关拉了一下；第3个学生走过来，把凡是号码为3的倍数的电灯的开关拉了一下，如此等等，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯的开关拉了一下，这样过去之后，问哪些灯是亮的？讲解（1）直接计算100次记录，会眼花缭乱.（2）拉电灯的开关有什么规律：电灯编号包含的正约数（学生）才能拉、不是正约数（学生）不能拉，有几个正

6、约数就被拉几次.（3）灯被拉的次数与亮不亮（开、关）有什么关系：0123456789关开关开关开关开关开灯被拉奇数次的亮！（4）哪些数有奇数个约数：平方数.（5）1～100中有哪些平方数：共10个：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100.答案：编号为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100共10个还亮.例2用表示不大于的最大整数，求.讲解题目的内层有2004个高斯记号，外层1个高斯记号.关键是弄清的含义，进而弄清加法谁与谁加、除法谁与谁除：13北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台找寒假家教，到阳光家教网（1）分子是那些数相加，求出和来；由，

7、知分子是0～5的整数相加，弄清加数各有几个1～3650365个366～7311366个732～10972366个1098～14633366个1464～18294366个1830～20045175个（2）除法谁除以366，求出商的整数部分.原式命题背景2004年有12个月、366天.例3证明对任意正整数，分数不可约.证明1（反证法）假若可约，则存在，①使从而存在，使消去，，得④13北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台找寒假家教，到阳光家教网的⑤