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时间:2018-07-18
《两类不等式恒成立问题的区别》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、两类不等式恒成立问题的区别给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),(1)若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0,(ⅰ)或(ⅱ)可合并定成(2)若在[m,n]内恒有f(x)<0,则有例1(1)设不等式2x-1>m(x2-1)对满足-2≤m≤2的一切实数m的取值都成立,求x的取值范围;(2)是否存在m使得不等式2x-1>m(x2-1)对满足-2≤x≤2的实数x的取值都成立.解析:(1)原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)<0若(2)令f(x)=2x-1-m(x2-1)=-mx2+2x+(m-1),使
2、x
3、≤2的一切实数都有2x-1>m(x2-1)成立.
4、当m=0时,f(x)=2x-1在12≤x<2时,f(x)≥0.(不满足题意)当m≠0时,f(x)只需满足下式:-m>0,(m<0)1m≤-2f(-2)>0或-m>0,(m<0)-2<1m≤2△<0或-m>01m>2f(2)>0或-m<0,(m>0)f(2)>0f(-2)>0解之得结果为空集.故没有m满足题意.例2设函数f(x)=mx2-mx-6+m(1)若对于m∈[1,2],f(x)<0恒成立,求实数x的取值范围;(2)若对于x∈[1,2],f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)∵mx2-mx-6+m<0,∴m(x2-x+1)-6<0,对于m∈[1,2
5、],f(x)<0恒成立⇔1×(x2-x+1)-6<02×(x2-x+1)-6<0解得:-1<x<2,∴实数x的取值范围:-1<x<2,(2))∵mx2-mx-6+m<0,,∴m(x2-x+1)-6<0,对于x∈[1,2],f(x)<0恒成立⇔m<6x2-x+1⇔m<6x2-x+1在x∈[1,2],上的最小值,由于6x2-x+1在x∈[1,2],上的最小值是:2∴m<2∴实数m的取值范围:m<2.1.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零,则x的取值范围是()(A)13(C)16、>2分析:题中的不等式是关于的一元二次不等式,但若把看成主元,则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。解:令,则原问题转化为恒成立()。4当时,可得,不合题意。当时,应有解之得。故的取值范围为。2.对于满足7、a8、2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.分析:在不等式中出现了两个字母:x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.显然可将a视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解:原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在9、a10、2时恒成立,设f(a)=(x-1)a+x11、2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0,故有:即解得:∴x<-1或x>3.即x∈(-∞,-1)∪(3,+∞)3.若不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0x1的所有实数x都成立,求m的取值范围。解:设f(x)=x2-2mx+2m+1本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0,求m的取值范围。(1)当m<0时,f(x)在[0,1]上是增函数,因此f(0)是最小值,得1时,f(x)在[0,1]上是减函数,因此f(1)是最小值得m>1综合(1)(2)(3)得4.(2007•山东)当x12、∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是m≤-5解:法一:根据题意,构造函数:f(x)=x2+mx+4,x∈[1,2].由于当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立.则由开口向上的一元二次函数f(x)图象可知f(x)=0必有△>0,①当图象对称轴x=-m/2≤3/2时,f(2)为函数最大值当f(2)≤0,得m解集为空集.②同理当-m/2>3/2时,f(1)为函数最大值,当f(1)≤0可使x∈(1,2)时f(x)<0.由f(1)≤0解得m≤-5.综合①②得m范围m≤-5法二:根据题意,构造函数:f(x)=x2+mx+4,x∈[1,213、].由于当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立即f(1)≤0f(2)≤0解得m≤-4m≤-5即m≤-545.关于x的不等式loga(2-ax)<0在〔1,2〕上恒成立,求实数a的取值范围.简析:两次构造“一次函数的保号性”求解.不等式有意义〔1,2〕上恒成立,由“保号性”只需,g(1)=2-a>0.g(2)=2-a>0,而a>0.故不等式有意义隐含014、围是解析;
6、>2分析:题中的不等式是关于的一元二次不等式,但若把看成主元,则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。解:令,则原问题转化为恒成立()。4当时,可得,不合题意。当时,应有解之得。故的取值范围为。2.对于满足
7、a
8、2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.分析:在不等式中出现了两个字母:x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.显然可将a视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解:原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在
9、a
10、2时恒成立,设f(a)=(x-1)a+x
11、2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0,故有:即解得:∴x<-1或x>3.即x∈(-∞,-1)∪(3,+∞)3.若不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0x1的所有实数x都成立,求m的取值范围。解:设f(x)=x2-2mx+2m+1本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0,求m的取值范围。(1)当m<0时,f(x)在[0,1]上是增函数,因此f(0)是最小值,得1时,f(x)在[0,1]上是减函数,因此f(1)是最小值得m>1综合(1)(2)(3)得4.(2007•山东)当x
12、∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是m≤-5解:法一:根据题意,构造函数:f(x)=x2+mx+4,x∈[1,2].由于当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立.则由开口向上的一元二次函数f(x)图象可知f(x)=0必有△>0,①当图象对称轴x=-m/2≤3/2时,f(2)为函数最大值当f(2)≤0,得m解集为空集.②同理当-m/2>3/2时,f(1)为函数最大值,当f(1)≤0可使x∈(1,2)时f(x)<0.由f(1)≤0解得m≤-5.综合①②得m范围m≤-5法二:根据题意,构造函数:f(x)=x2+mx+4,x∈[1,2
13、].由于当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立即f(1)≤0f(2)≤0解得m≤-4m≤-5即m≤-545.关于x的不等式loga(2-ax)<0在〔1,2〕上恒成立,求实数a的取值范围.简析:两次构造“一次函数的保号性”求解.不等式有意义〔1,2〕上恒成立,由“保号性”只需,g(1)=2-a>0.g(2)=2-a>0,而a>0.故不等式有意义隐含014、围是解析;
14、围是解析;
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