两类不等式恒成立问题的区别

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1、两类不等式恒成立问题的区别给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),（1）若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，（ⅰ）或（ⅱ）可合并定成（2）若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有例1（1）设不等式2x-1＞m（x2-1）对满足-2≤m≤2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围；（2）是否存在m使得不等式2x-1＞m（x2-1）对满足-2≤x≤2的实数x的取值都成立．解析：（1）原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)<0若（2）令f（x）=2x-1-m（x2-1）=-mx2+2x+（m-1），使

2、x

3、≤2的一切实数都有2x-1＞m（x2-1）成立．

4、当m=0时，f（x）=2x-1在12≤x＜2时，f（x）≥0．（不满足题意）当m≠0时，f（x）只需满足下式：-m＞0，(m＜0)1m≤-2f(-2)＞0或-m＞0，(m＜0)-2＜1m≤2△＜0或-m＞01m＞2f(2)＞0或-m＜0，(m＞0)f(2)＞0f(-2)＞0解之得结果为空集．故没有m满足题意．例2设函数f（x）=mx2-mx-6+m（1）若对于m∈[1，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围；（2）若对于x∈[1，2]，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）∵mx2-mx-6+m＜0，∴m（x2-x+1）-6＜0，对于m∈[1，2

5、]，f（x）＜0恒成立⇔1×(x2-x+1)-6＜02×(x2-x+1)-6＜0解得：-1＜x＜2，∴实数x的取值范围：-1＜x＜2，（2））∵mx2-mx-6+m＜0，，∴m（x2-x+1）-6＜0，对于x∈[1，2]，f（x）＜0恒成立⇔m＜6x2-x+1⇔m＜6x2-x+1在x∈[1，2]，上的最小值，由于6x2-x+1在x∈[1，2]，上的最小值是：2∴m＜2∴实数m的取值范围：m＜2．1.对任意a∈［-1,1］，函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零，则x的取值范围是()(A)13(C)1

6、>2分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。解：令，则原问题转化为恒成立（）。4当时，可得，不合题意。当时，应有解之得。故的取值范围为。2.对于满足

7、a

8、2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在

9、a

10、2时恒成立,设f(a)=(x-1)a+x

11、2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：即解得：∴x<-1或x>3.即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞)3.若不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。解：设f(x)=x2-2mx+2m+1本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范围。(1)当m<0时，f(x)在[0,1]上是增函数，因此f(0)是最小值，得1时，f(x)在[0,1]上是减函数，因此f(1)是最小值得m>1综合(1)(2)(3)得4.（2007•山东）当x

12、∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是m≤-5解：法一：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立．则由开口向上的一元二次函数f（x）图象可知f（x）=0必有△＞0，①当图象对称轴x=-m/2≤3/2时，f（2）为函数最大值当f（2）≤0，得m解集为空集．②同理当-m/2＞3/2时，f（1）为函数最大值，当f（1）≤0可使x∈（1，2）时f（x）＜0．由f（1）≤0解得m≤-5．综合①②得m范围m≤-5法二：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2

13、]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立即f(1)≤0f(2)≤0解得m≤-4m≤-5即m≤-545.关于x的不等式loga(2-ax)<0在〔1,2〕上恒成立，求实数a的取值范围.简析：两次构造“一次函数的保号性”求解.不等式有意义〔1，2〕上恒成立，由“保号性”只需，g(1)=2-a>0.g(2)=2-a>0,而a>0.故不等式有意义隐含0

14、围是解析;