2005年广西玉林市中考数学试卷

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2005年广西玉林市中考数学试卷　一、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）1、[2005广西玉林市中考试卷，1，2分]若﹣m=4，则m=　　．考点：等式的性质。专题：计算题。分析：利用等式的性质即可解决问题．解答：解：根据等式性质2，等式两边同乘﹣1，则m=﹣4．故填：﹣4．点评：本题主要考查等式的性质．等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．2、[2005广西玉林市中考试卷，2，2分]冷库A的温度是﹣5℃，冷库B的温度是﹣15℃，则温度高的是冷库　　．考点：有理数大小比较。专题：应用题。分析：根据有理数大小的比较方法可知两个负数中绝对值较大的反而小．解答：解：根据两个负数，绝对值大的反而小，则﹣5＞﹣15，所以温度高的是冷库A．故填A．点评：掌握两个负数的大小比较方法：两个负数，绝对值大的反而小．3、[2005广西玉林市中考试卷，3，2分]不等式3x﹣9≤0的解集是　　．考点：解一元一次不等式组。分析：先移项，再系数化为1即可．解答：解：移项，得3x≤9，系数化为1，得x≤3．点评：本题考查解不等式，需要注意：不等式两边同时加上一个数，或除以一个正数，不等号的方向不变．4、[2005广西玉林市中考试卷，4，2分]已知⊙O1和⊙O2的半径分别是2和4，01O2=6，则⊙O1与⊙O2的位置关系是　　．考点：圆与圆的位置关系。分析：设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．解答：解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别是2和4，01O2=6，则R+r=2+4=6，∴两圆外切．点评：本题主要考查两圆的位置关系与数量之间的联系．5、[2005广西玉林市中考试卷，5，2分]将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD=110°，则∠COB=　度． 考点：角的计算。专题：计算题。分析：∠COB是两个直角的公共部分，同时两个直角的和是180°，所以∠AOB+∠COD=∠AOD+∠COB．解答：解：由题意可得∠AOB+∠COD=180°，又∠AOB+∠COD=∠AOC+2∠COB+∠BOD=∠AOD+∠COB，∵∠AOD=110°，∴∠COB=70°．故答案为：70．点评：求解时正确地识图是求解的关键．6、[2005广西玉林市中考试卷，6，2分]解方程（x2﹣5）2﹣x2+3=0时，令x2﹣5=y，则原方程变为　　．考点：换元法解一元二次方程。专题：换元法。分析：本题如果对方程直接开方会增加解题的难度，因此可根据x2﹣5=y，得到x2=y+5，然后再把y代入方程中，即可解出此题．解答：解：∵x2﹣5=y，∴x2=5+y，∴（x2﹣5）2﹣x2+3=y2﹣y﹣5+3=y2﹣y﹣2=0，故本题的答案是y2﹣y﹣2=0．点评：本题考查了换元法的运用，根据已知，对条件进行变形，化繁为简是解此类题目常见的办法．7、[2005广西玉林市中考试卷，7，2分]把图折叠成一个正方体，如果相对面的值相等，则一组x，y的值是　　．考点：专题：正方体相对两个面上的文字。分析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“x+y”与面“5”相对，面“xy”与面“6”相对．根据相对面的值相等列式求解即可．解答：解：由图可知，面“x+y”与面“5”相对，面“xy”与面“6”相对．根据相对面的值相等得，x+y=5且xy=6，解得x=2，y=3或x=3，y=2．点评：注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．8、[2005广西玉林市中考试卷，8，2分]方案一：在启动的科学记算器上顺次按键后，显示结果（结果保留三个有效数字）是　　附按键： 方案二：若正方体的体积是2004，则正方体的棱长（结果保留三个有效数字）是　　．附立方表．N1234567890.202.0200.58481.2602.7140.58671.2642.7230.58771.2662.7280.58871.2682.7320.58961.2702.7370.59061.2722.7410.59151.2742.7460.59251.2772.7500.59341.2792.755考点：计算器—数的开方。专题：方案型。分析：（1）首先要熟悉计算器的符号及其功能，然后即可解决问题；（2）由于正方体的棱长即，根据所给的表以及立方根的规律：当被开方数每移动3位，那么它的立方根就相应移动1位，由此即可求解．解答：解：（1）即≈12.6；（2）≈12.6∵2.004的立方根从表格中看第二行和第一列的交点处，即1.260，再向右移动1位，即12.6．故填空答案：（1）12.6；（2）12．点评：此题主要考查了学生熟练使用计算器，也考查了立方根的规律：当被开方数每移动3位，那么它的立方根就相应移动1位．9、[2005广西玉林市中考试卷，9，2分]观察下列球的排列规律（其中●是实心球，○是空心球）：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●…从第1个球起到第2006个球止，共有实心球的个数为　　个．考点：规律型：图形的变化类。专题：规律型。分析：根据题意分析可得：●○○●●○○○○○共10个是一组，且依次循环．解答：解：从第1个球起到第2006个球止，即200组再加6个；共有实心球的个数为200×3+3=603个．故共有实心球的个数为603个．点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．10、[2005广西玉林市中考试卷，10，2分]某电信公司推出手机两种收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差　　元．考点：一次函数的应用。 分析：可设A种方式每分需付x元，B种方式每分付费y元．根据100分钟时收费相同，列出关系式，找出x与y之间的关系，从而求150分钟时，二者的差距．解答：解：当打出电话100分时，付费相等．可设A种方式每分需付x元，B种方式每分付费y元．那么20+100x=100y，整理得：100y﹣100x=20，那么打出电话150分钟时，B种方式付费高相差150y﹣（150x+20）=150y﹣150x﹣20=1.5×（100y﹣100x）﹣20=10．点评：解决本题的关键是读懂题意，找到相应的等量关系．缺少相应的量，可大胆设出未知数，设法消去．二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）11、[2005广西玉林市中考试卷，11，3分]下列运算正确的是（　　）A．6a+2a=8a2B．a2÷a2=0C．a﹣（a﹣3）=﹣3D．a﹣1•a2=a考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法。专题：计算题。分析：根据合并同类项法则，同底数幂除法，同底数的乘法，去括号法则，运算后利用排除法求解．解答：解：A、6a+2a=8a，错误；B、a2÷a2=1，错误；C、a﹣（a﹣3）=a﹣a+3=3，错误；D、a﹣1•a2=a﹣1+2=a，正确；故选D．点评：本题主要考查了包括合并同类项，同底数幂的乘法和除法，D选项中，当指数为负数时，运算法则同样适用．12、[2005广西玉林市中考试卷，12，3分]已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为（　　）A．3：4B．2：3C．3：5D．1：2考点：比较线段的长短。分析：根据题意，画出图形，因为CA=3AB，则CB=CA+AB=4AB，故线段CA与线段CB之比可求．解答：解：如上图所示∵CA=3AB∴CB=CA+AB=4AB∴CA：CB=3：4．故选A．点评：在未画图类问题中，正确画图很重要．灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系十分关键．13、[2005广西玉林市中考试卷，13，3分]因式分解4﹣4a+a2，正确的是（　　）A．4（1﹣a）+a2B．（2﹣a）2C．（2﹣a）（2+a）D．（2+a）2考点：因式分解-运用公式法。分析：根据多项式的结构特点，可用完全平方公式进行因式分解．解答：解：4﹣4a+a2=（2﹣a）2．故选B．点评：本题考查利用完全平方公式分解因式，熟练掌握公式结构特点是解题的关键． 14、[2005广西玉林市中考试卷，14，3分]下列命题错误的是（　　）A．等边三角形的各边相等、各角相等B．等边三角形是一个轴对称图形C．等边三角形是一个中心对称图形D．等边三角形有一个内切圆和一个外接圆考点：命题与定理。分析：根据等边三角形的性质逐一解答即可．解答：解：A、正确，符合等边三角形的性质；B、正确，符合等边三角形的性质；C、错误，等边三角形是一个轴对称图形，不是中心对称图形；D、正确，任何一个三角形都有一个内切圆和一个外接圆．故选C．点评：本题考查的是等边三角形的性质，需注意的是中心对称图形的边数最起码应是偶数．15、[2005广西玉林市中考试卷，15，3分]如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A10，P2A20，P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则（　　）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S1=S2=S3考点：反比例函数系数k的几何意义。专题：数形结合。分析：根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系S=|k|即可判断．解答：解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|，所以S1=S2=S3．故选D．点评：主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．16、[2005广西玉林市中考试卷，16，3分]宾馆客房的标价影响住宿百分率．下表是某一宾馆在近几年旅游周统计的平均数据：在旅游周，要使宾馆客房收入最大，客房标价应选（）客房价160140120100住宿百分率63.8%74.3%84.1%95%A．160元B．140元C．120元D．100元考点：算术平均数。专题：应用题；方案型。 分析：本题可用客房价乘以住宿百分率，比较哪种情况收入最多．最多的即为答案．解答：解：160×63.8%=102.08；140×74.3%=104.02；120×84.1%=100.92；100×95%=95.00．故选B．点评：本题考查的是对题意的理解．学生容易从住房最多的人数进行考虑而错选D．17、[2005广西玉林市中考试卷，17，3分]如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过点A的直线CD分别与⊙O1、⊙O2交于C、D，经过点B的直线EF分别与⊙O1、⊙O2交于E、F，且EF∥O1O2．下列结论：①CE∥DF；②∠D=∠F；③EF=2O1O2．必定成立的有（　）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：相交两圆的性质；平行线的判定；三角形中位线定理；圆周角定理。分析：根据相交两圆的性质、圆周角定理的推论、平行线的判定以及三角形的中位线定理分别判断．解答：解：连接AB，AE，AF，根据相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，得AB⊥01O2．再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得AE，AF是直径．①、根据直径所对的圆周角是直角，得∠C=∠D=90°，则∠C+∠D=180°，得CE∥DF；②、因为BD不一定是直径，所以∠F不一定是直角，错误；③、根据三角形的中位线定理，得EF=2O1O2．故选C．点评：考查了相交两圆的性质、圆周角定理的推论、平行线的判定以及三角形的中位线定理．18、[2005广西玉林市中考试卷，18，3分]如图，⊙O的直径AB=8，P是上半圆（A、B除外）上任一点，∠APB的平分线交⊙O于C，弦EF过AC、BC的中点M、N，则EF的长是（　　）A．4B．2C．6D．2考点：圆周角定理；角平分线的性质；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理。 专题：计算题。分析：由于PC平分∠APB，易得=，如果连接OC交EF于D，根据垂径定理可知：OC必垂直平分EF．由于M、N是AC、BC的中点，因此MN是△ABC的中位线，根据平行线分线段成比例定理可得：OD=CD=OC=2．连接OE，可在Rt△OED中求出ED的长，即可得出EF的值．解答：解：∵PC是∠APB的角平分线，∴弧AC=弧BC；∴AC=BC；∵AB是直径，∴∠ACB=90°．即△ABC是等腰直角三角形．连接OC，交EF于点D，则OC⊥AB；∵M、N是AC、BC的中点，∴MN∥AB；∴OC⊥EF，OD=OC=2．连接OE，根据勾股定理，得：DE=2，EF=2ED=4．故选A．点评：此题综合运用了圆周角定理及其推论发现等腰直角三角形，再进一步根据等腰三角形的性质以及中位线定理，求得EF的弦心距，最后结合垂径定理和勾股定理求得弦长．三、解答题（共10小题，满分76分）19、[2005广西玉林市中考试卷，19，7分]考点：实数的运算。分析：本题涉及负整数指数幂，二次根式化简两个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=2（+1）﹣2+3=2+2﹣2+3=5．点评：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式等考点的运算． 20、[2005广西玉林市中考试卷，20，7分]已知两个分式：A=，B=，其中x≠±2．下面有三个结论：①A=B；②A、B互为倒数；③A、B互为相反数．请问哪个正确？为什么？考点：分式的加减法。专题：计算题。分析：本题首先化简B，然后通过对比得出答案．解答：解：∵B=====，又∵A=，比较可知，A与B只是分式本身的符号不同，∴A、B互为相反数，③正确．点评：本题主要考查了分式的加减法运算，若判断A、B两式的关系，则需要把B式进行通分化简，通分、约分在解题中其关键作用．21、[2005广西玉林市中考试卷，21，7分]甲、乙两位同学五次数学测验成绩如下表：请你在表中的空白处填上适当的数，用学到的统计知识对两位同学的成绩进行分析，并写出一条合理化建议．测验（次）12345平均数方差甲（分）7590968381乙（分）8670909584考点：算术平均数；方差。专题：计算题。分析：根据方差的计算公式计算，根据方差的定义判断，方差越小数据越稳定．解答：解：甲的平均数==85；S2甲=[（75﹣85）2+（90﹣85）2+（96﹣85）2+（83﹣85）2+（81﹣85）2]=53.2；乙的平均数==85；S2乙=[（86﹣85）2+（70﹣85）2+（90﹣85）2+（95﹣85）2+（84﹣85）2]=70.4；从上述数据可以看出，乙同学的数学成绩不够稳定，波动较大；希望乙同学在学习上补缺补漏，加强能力训练．点评：本题主要考查方差的意义；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．22、[2005广西玉林市中考试卷，22，7分]如图，在△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC，DE∥BC．求证：DE=EC． 考点：平行线分线段成比例；平行线的性质；等腰三角形的性质。专题：证明题。分析：由DE∥BC，可知，由AB=AC，可知DB=EC，由角平分线及平行线的性质可知∠DEB=∠DBE．故DE=EC．解答：证明：∵DE∥BC，∴．（1分）又∵AB=AC，∴DB=EC．（3分）∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC．（4分）而∵∠DBE=∠EBC，∴∠DEB=∠DBE．（5分）∴DB=DE．（6分）∴DE=EC．（7分）点评：本题主要考查等腰三角形的性质，综合利用了平行线的性质和角平分线的定义，是中学阶段的基本题目．23、[2005广西玉林市中考试卷，23，8分]如图，AB与CD相交于E，AE=EB，CE=ED，D为线段FB的中点，CF与AB交于点G，若CF=15cm，求GF之长．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。分析：因为AE=EB，CE=ED，∠AEC=∠BED，所以△AEC≌△BED，所以∠EAC=∠EDB，∠EAC=∠EBD，AC=FD，又D为线段FB的中点，所以四边形ACFD为平行四边形，△AGC∽△BGF，=，=，又CF=15cm，解得GF=10（cm）．解答：解：∵AE=EB，CE=ED，∠AEC=∠BED，∴△AEC≌△BED，∴∠ACE=∠EDB，∠EAC=∠EBD，AC=FD，又D为线段FB的中点，∴四边形ACFD为平行四边形，∴△AGC∽△BGF， ∴=，∴=，又∵CF=15cm，解得GF=10（cm），∴GF=10（cm）．点评：此题主要考查了全等三角形的判定和相似三角形的性质．24、[2005广西玉林市中考试卷，24，8分]如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴的负半轴相交于A、B两点，与y轴的正半轴相交于C点，与双曲线y=的一个交点是（1，m），且OA=OC．求抛物线的解析式．考点：反比例函数综合题。专题：计算题；待定系数法。分析：求抛物线的解析式就是求b、c值，由双曲线性质可求交点坐标，根据坐标与线段长度关系容易求b、c值，然后即可求出抛物线的解析式．解答：解：把x=1，y=m，代入y=，∴m=6，把x=1，y=6代入y=x2+bx+c，得b+c=5①令x=O，得y=c，∴点C的坐标是（0，c），又OA=OC，∴点A的坐标为（﹣c，O），把A点坐标代入y=x2+bx+c得，（﹣c）2+b（﹣c）+c=O，又c＞0，得c﹣b=﹣1②联立①、②所组成的方程组，解得b=3，c=2所以y=x2+3x+2．点评：此题难度中等，主要考查反比例函数和抛物线的图象和性质及用待定系数法求函数的解析式．25、[2005广西玉林市中考试卷，25，8分]今年五月，某工程队（有甲、乙两组）承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成． （1）已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？（2）在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．考点：分式方程的应用；解一元二次方程-因式分解法。专题：应用题。分析：（1）因为甲、乙两组合做24天后完成了总工程1，所以在知道他们各自工效的情况下，可列方程进行解答．（2）在（1）的基础上，先求出完成总工作的情况下用去了多少天，即留给他们的时间还有多少，然后考虑，在已知的工效前提下，甲乙完成剩下的各需多少天，从而进行解答．解答：解：（1）设规定时间为x天，则．解之，得x1=28，x2=2．（3分）经检验可知，x1=28，x2=2都是原方程的根，但x2=2不合题意，舍去，取x=28．由24＜28知，甲、乙两组合做可在规定时间内完成．（4分）（2）设甲、乙两组合做完成这项工程的用去y天，则=．解之，得y=20（天）．（5分）甲独做剩下工程所需时间：10（天）．因为20+10=30＞28，所以甲独做剩下工程不能在规定时间内完成；（6分）乙独做剩下工程所需时间：（天）．因为20+=26＜28．所以乙独做剩下工程能在规定时间内完成．（7分）所以我认为抽调甲组最好．（8分）点评：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．26、[2005广西玉林市中考试卷，26，8分]阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D（如图），则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即．同理有，． 所以…（*）即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论（*）和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：第一步：由条件a、b、∠A　　∠B；第二步：由条件∠A、∠B．　　∠C；第三步：由条件．　　　　c．（2）一货货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以28.4海里/时的速度按北偏东45°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A的距离AB（结果精确到0.1．参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966）．考点：解直角三角形的应用-方向角问题。专题：阅读型。分析：（1）只要读清题意，填写此问应该不难；（2）本题要构建出直角三角形，使得已知和所求的条件都转移到直角三角形中进行计算．解答：解：（1），∠A+∠B+∠C=180°，a、∠A、∠C或b、∠B、∠C，或（2）依题意，可求得∠ABC=65°，∠A=40°，BC=14.2．过B作BD⊥AC于D，直角三角形BCD中BD=BC•sin75°≈13.7直角三角形ABD中AB=BD÷sin40°≈21.3．答：货轮距灯塔A的距离约为21.3海里． 点评：本题考查了三角函数以及解直角三角形的应用，注意直角三角形的应用关键是构建直角三角形，以便把条件和问题都放到直角三角形中进行解决．27、[2005广西玉林市中考试卷，27，8分]如图，A、B两点的坐标分别是（x1，0）、（x2，0），其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m﹣3=0的两根，且x1＜0＜x2．（1）求m的取值范围；（2）设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；（3）在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式．考点：一次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）利用判别式和两根的积为负数作为不等关系：22﹣4（m﹣3）=16﹣m＞0①，x1x2=m﹣3＜0，解不等式可得m的取值范围是m＜3；（2）根据直角三角形的性质可得到AO=3BO，即x1=﹣3x2，和两根和的关系x1+x2=﹣2，联立方程组可解得x1=﹣3，x2=1，代入x1•x2=m﹣3，得m=0；（3）过D作DF⊥轴于F，从（2）可得到A、B两点坐标为A（﹣3，O）、B（1，O），可证明△DAB≌△CBA，所以DF=CO=，AF=B0=1，OF=A0﹣AF=2，点D的坐标为（﹣2，），利用待定系数法可解直线AD的函数解析式为y=x+3．解答：解：（1）由题意，得：22﹣4（m﹣3）=16﹣m＞0①x1x2=m﹣3＜0②解①得m＜4解②得m＜3所以m的取值范围是m＜3；（3分）（2）由题意可求得∠OCB=∠CAB=30°， 所以BC=2BO，AB=2BC=4BO，所以A0=3BO，（4分）从而得x1=﹣3x2③，又因为x1+x2=﹣2④，联合③、④解得x1=﹣3，x2=1，（5分）代入x1•x2=m﹣3，得m=O；（6分）（3）过D作DF⊥轴于F，从（2）可得到A、B两点坐标为A（﹣3，O）、B（1，O）∴BC=2，AB=4，OC=∵△DAB≌△CBA∴DF=CO=，AF=B0=1，OF=A0﹣AF=2∴点D的坐标为（﹣2，）∴直线AD的函数解析式为y=x+3．点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活地运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．28、[2005广西玉林市中考试卷，28，8分]如图（1），AB是⊙O的直径，射线AT⊥AB，点P是射线AT上的一个动点（P与A不重合），PC与⊙O相切于C，过C作CE⊥AB于E，连接BC并延长BC交AT于点D，连接PB交CE于F．（1）请你写出PA、PD之间的关系式，并说明理由；（2）请你找出图中有哪些三角形的面积被PB分成两等分，并加以证明；（3）设过A、C、D三点的圆的半径是R，当CF=R时，求∠APC的度数，并在图（2）中作出点P．（要求尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 考点：切线的性质；圆周角定理；解直角三角形。专题：压轴题。分析：（1）连接AC，由AT，PC为⊙O的两条切线可得PA=PC，∠PAC=∠PCA，由AB为⊙O的直径可得∠ACB=90°，故∠PAC+∠ADC=∠PCA+∠PCD=90°，由此可以得到∠ADC=∠PCD，PC=PD=PA；（2）由（1）知PD=PA，且同高，可见△ABD被PB分成面积相等的两个三角形；由AT⊥AB，DE⊥AB可得CE∥AT，然后得到==，又PD=PA，所以可得CF=EF，所以△CEB也被PB分成面积相等的两个三角形；（3）由PA=PD=PC，可知PA为△ACD的外接圆的半径，由（2）知CF=EF，EF=PA，再根据EF∥AT可得==，从而可得CE=BE，在Rt△ACE中，可求出∠CAE=30°，又∵AT⊥AB，可得∠PAC=60°，△PAC为等边三角形，所以得到∠APC=60°．解答：解：（1）如图，连接AC，∵AT⊥AB，AB是⊙O的直径∴AT是⊙O的切线又PC是⊙O的切线∴PA=PC∴∠PAC=∠PCA∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°∴∠PAC+∠ADC=90°，∠PCA+∠PCD=90°∴∠ADC=∠PCD所以PD=PC=PA；（2）由（1）知PD=PA∴△ABD被PB分成面积相等的两个三角形∵AT⊥AB，CE⊥AB∴AT∥CE∴CF：PD=BF：BP，EF：PA=BF：BP所以CF：PD=EF：PA所以CF=EF可见△CEB也被PB分成面积相等的两个三角形；（3）由（1）知PA=PC=PD∴PA是△ACD的外接圆的半径，即PA=R由（2）知，CF=EF，而CF=R∴EF=PA所以=，∵EF∥AT∴== ∴CE=BE在Rt△ACE中∵tan∠CAE=∴∠CAE=30°∴∠PAC=90°﹣∠CAE=60°而PA=PC∴△PAC是等边三角形∴∠APC=60°P点的作图方法见图．点评：本题主要考查切线的性质，相似三角形的判定，三角函数等知识点，在解题时要注意数形结合．题目的难度比较大，综合性比较强．