贝叶斯分析第2章

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1、§2.4假设检验一、假设检验经典统计中处理假设检验问题的基本步骤：1.提出检验假设又称无效假设，符号是H0；备择假设的符号是H1。，其中是参数空间中互不相交的两个非空子集。H0和H1假设都是对总体特征的检验假设，相互联系且对立。H0总是假设样本差别来自抽样误差，零假设。H1是来自非抽样误差，有单双侧之分，备择假设。预先设定的检验水准为；当检验假设为真，但被错误地拒绝的概率，记作，通常取或。2、选定统计方法，由样本观察值按相应的公式计算出统计量的大小，如值、值等。根据资料的类型和特点，可分别选用Z检验，T检验，秩和检验

2、和卡方检验等。3、根据统计量的大小及其分布确定检验假设成立的可能性的大小并判断结果。若，结论为按所取水准不显著，不拒绝，即认为差别很可能是由于抽样误差造成的，在统计上不成立；如果，结论为按所取水准显著，拒绝H0，接受H1，则认为此差别不大可能仅由抽样误差所致，很可能是实验因素不同造成的，故在统计上成立。值的大小一般可通过查阅相应的界值表得到。大家可以看到用经典统计十分繁琐，而且在抽样分布不确定时我们无法进行统计推断，但在贝叶斯统计中假设检验问题直截了当，在获得后验分布后，即可计算二个假设检验的后验概率：然后比较的大小

3、，当后验概率比时接受H0，当后验概率比时接受H1，当后验概率比时，不宜做判断，需要进一步抽样或进一步搜集先验信息。从上面两种方法可以看出，贝叶斯假设检验是简单的，无需选择检验统计量，确定抽样分布，也无需事先给出显著性水平，确定其拒绝域，此外，贝叶斯假设检验也容易推广到多重假设检验场合，当有三个和是三个以上假设时，应接受具有最大后验概率的假设。二、贝叶斯因子定义2.4设两个假设与的先验概率分别为与，后验概率分别为与，则称：为贝叶斯因子。从这个定义可见，贝叶斯因子既依赖于数据x又依赖于先验分布，对两种机会比相除，很多人认

4、为，这会减弱先验分布的影响，突出数据的影响，从这个角度看，贝叶斯因子是数据支持的程度。一下具体讨论几种情况下的贝叶斯因子。贝叶斯因子表示数据x支持原假设的程度。三、简单假设对简单假设在这种场合，两种简单假设的后验概率分别为，其中为样本分布，此时后验机会比要拒绝原假设，就必须有，或即要求两密度函数数值之比大于临界值，这种场合下的贝叶斯因子，它不依赖于先验分布，仅依赖于样本的似然比，这时贝叶斯因子的大小表示了样本支持的程度。四、复杂假设对复杂假设在这种场合，贝叶斯因子为还依赖于参数空间上的先验分布，为探讨该关系。我们把先

5、验分布限制在上，并另,于是先验分布后验概率比于是贝叶斯因子可见，此时贝叶斯因子还依赖于参数空间上的先验分布，这时贝叶斯虽已不是似然比，但仍可看做上的加权似然比，它部分的消除了先验分布的影响，而强调了样本观察值的作用。若与分别是在上的极大似然估计（MLE），那么经典统计中所使用的似然比统计量是贝叶斯因子的特殊情况，即认为先验分布与的质量全部集中在与上。五、简单假设对复杂的备择假设我们考察如下的检验问题：对原假设作贝叶斯检验时不能采用连续密度函数作为先验分布，因为这种先验将给的先验概率为0，而后验概率也为0，所以一个有效

6、的办法是对的一个正概率，而对给一个加权密度即的鲜艳密度为其中为的示性函数，，为上的一个正常密度函数，这里可把看作近似的实际假设：上的先验概率，如此的先验分布是由离散和连续两部分组成。设为样本分布，利用上述先验分布得到样本的边缘分布从而简单假设与复杂备择假设（记为）的后验概率分别为后验机会比从而贝叶斯因子为这一简单表达式要比后验概率计算容易的多，故实际中常常计算，然后再计算，因为由贝叶斯因子的定义和可推得