数学毕业论文__-积分上限函数的性质及其应用

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1、2014届本科毕业论文(设计)题目：积分上限函数性质及其应用所在学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学09-3班学生姓名：库丽亚·托列吾指导教师：马哈提·胡斯曼答辩日期：2014年5月5日新疆师范大学教务处新疆师范大学2014届本科毕业生毕业论文（设计）目录引言21积分上限函数22上限积分函数的性质33积分上限函数的应用73.1积分上限函数在微分中值定理中的应用73.2积分上限函数在证明不等式中的应用84有关积分上限函数性质的例题95有关一元积分上限函数应用的题115.1积分上限函数在求极限中的应用115.2积分上限函数在不等式中的应用

2、115.3积分上限函数在微分中值定理中的应用126二元积分上限函数性质和应用126.1二元积分上限函数的性质13总结15参考文献16致谢17新疆师范大学2014届本科毕业生毕业论文（设计）摘要：积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数，在证明原函数存在定理和证明牛顿-莱布尼茨定理中占重要地位。本文首先对积分上限函数的初等性质进行研究，深入讨论了特性，并用积分上限函数的性质来求特殊函数的倒数，极限，其次讨论积分上限函数在证明不等式中的应用，证明积分中值定理中的应用，最后讨论了二元积分上限函数的性质及其它的应用。关键词：积分上限函数，性质

3、，定积分，连续,微分中值定理，二元积分上限函数。-17-新疆师范大学2014届本科毕业生毕业论文（设计）引言原函数存在定理：设函数与在区间I上都有定义，若，XI则称为在区间上的一个原函数，函数在区间上的全体原函称为在上的不定积分，。为方便可写：于是又有原函数存在定理是微积分学中基本定理。牛顿–莱布尼茨公式：若函数在上连续，且存在原函数，即，，则在上可积，且，这称为牛顿–莱布尼茨公式，而在积分学中，为证明原函数存在定理及牛顿–莱布尼滋公式，引进了积分上限函数。本文讨论此函数的相关性质，比如导数存在性，连续性，有界性，周期性等，除此之外本文讨论

4、了一元积分上限函数在微分中值定理中的应用，在证明不等式中的应用，求极限中的应用以及相关问题，更进一步的讨论了二元积分上限函数的定义，性质和应用，而且有关它的问题。1积分上限函数定义：设函数在区间上可积，则对于每一个取定，在上也可积，于是由定义了一个以积分上限为自变量的函数，这称为函数的积分上限函数（简称上限函数），也可以称为变限积分函数。-17-新疆师范大学2014届本科毕业生毕业论文（设计）积分上限函数有明显的几何意义：设有，则积分上限函数是区间上的上的区边梯形的面积，如图（1）的阴影部分。-17-新疆师范大学2014届本科毕业生毕业论文

5、（设计）2上限积分函数的性质（1）有界性若在上可积，则积分上限函数在上有界。证明：因为，在上可积，则在上有界，即，使得，有即证在上有界。（2）单调性若在上可积，且，则积分上限函数在上单调递增（递减）。（3）连续性如果函数在上是可积，则积分上限函数在区间上连续。证明：又由已知条件，在上有界，即，有，，，即，当时，即，在上连续-17-新疆师范大学2014届本科毕业生毕业论文（设计）由在上的任意性，在上连续。（4）奇偶性设函数是（-A,A）上的连续函数，则有1:若是奇函数，则是偶函数。2:若是偶函数，则当时奇函数。（5）可导性如果函数在区间上连续

6、，则积分上限所确定的函数在区间上存在导数，并且，或者说：积分上限函数所确定的函数是被积函数的一个原函数。证明：设取，使，则有：，已知函数在闭区间连续，则由积分中值定理，至少存在一点，使取则或又由函数在的连续性，有即，由此可见，尽管定积分与不定积分（原函数）的概念是完全不同的，但是二者之间存在着密切的关系。所以在区间上的连续函数存在原函数，而积分上限函数就是的一个原函数。对上述导数存在定理，我们有如下推广：-17-新疆师范大学2014届本科毕业生毕业论文（设计）（6）性质5的推广如果函数在区间上连续1:当上限是可微函数时，有下面求道公式2:当

7、上限与下线都是的可微函数时，则有如下求导公式证明：1,取，使由已知函数是可微函数，故又因为在连续，由积分中值定理则是可微的，因此是连续，2:取便所以由已知，和都是可微函数所以又因为上连续，由积分中值定理-17-新疆师范大学2014届本科毕业生毕业论文（设计）同理得所以与可微，且它们是连续函数。所以（7）周期性周期为的可积函数的积分，当时以为周期的函数证明：为的可积函数令则令当时，成立，既当时，函数为以为周期的的周期函数。（8）进一步下面我们有更一般性的性质定理若是周期为的连续函数，则是周期为的函数，其中为任意常数。证明：（1）-17-新疆师

8、范大学2014届本科毕业生毕业论文（设计）又因为未周期为的连续函数，所以有（2）把（2）代人（1）得故是以为周期的函数该定理告诉我们当是具有周期为的连续函数，则可以表示为一次函数