高中数学解题思想方法总结

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1、74第一章高中数学解题基本方法一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a＋

2、b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2；……等等。Ⅰ、再现性题组：1.在正项等比数列{a}中，asa+2asa+aa=25，则a＋a＝_______。2.方程x＋y－4kx－2y＋5k＝

3、0表示圆的充要条件是_____。A.1C.k∈RD.k＝或k＝13.已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为______。A.1B.－1C.1或－1D.04.函数y＝log(－2x＋5x＋3)的单调递增区间是_____。A.（－∞,]B.[,+∞)C.(－,]D.[,3)5.已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则实数a＝_____。【简解】1小题：利用等比数列性质aa＝a，将已知等式左边后配方（a＋a）易求。答案是：5。2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0

4、即可，选B。3小题：已知等式经配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。5小题：答案3－。Ⅱ、示范性题组：7474例1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。A.2B.C.5D.6【分析】先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得。【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其1

5、2条棱的长度之和为24”而得：。长方体所求对角线长为：＝＝＝5所以选B。【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例2.设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若()+()≤7成立，求实数k的取值范围。【解】方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2,()+()＝＝＝＝≤7，解得k≤－或k≥。又∵p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根，∴△＝k－8≥0即k≥2或k≤－2综合起来，k的取值范

6、围是：－≤k≤－或者≤k≤。【注】关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。例3.设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求()＋()。【分析】对已知式可以联想：变形为()＋()＋1＝0，则＝ω（ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)＝ab。则代入所求式即得。【解】由a＋ab

7、＋b=0变形得：()＋()＋1＝0，7474设ω＝，则ω＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：＝，ω＝＝1。又由a＋ab＋b=0变形得：(a＋b)＝ab，所以()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω＋＝2。【注】本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。【另解】由a＋ab＋b＝0变形得：()＋()＋1＝0，解出＝后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式()＋()后，完成后面的运算。此方法用于只是未联想到ω时进行解题。假如本题没有想到以上一系列变换