不规则图形的面积（二）

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1、年级五年级学科奥数版本通用版课程标题不规则图形的面积（二）编稿老师张任峰一校林卉二校黄楠审核张舒本节课主要用添加辅助线法、等积变形法、构造法、用“弦图”求面积来解答不规则图形的面积问题。1.常见图形面积间的联系：2.用“弦图”求面积。我国古代数学家赵爽，在为我国早期数学巨著《周髀算经》作注释时，就利用“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。“弦图”是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形。长方形的长－小正方形的边长＝长方形的宽；长方形的宽＋长方形的长＝大正方

2、形的边长。根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，可使我们得到一些面积问题的解题思路。3.要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点：（1）切实掌握有关简单图形的概念、面积公式；（2）仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；（3）适当采用增加辅助线等方法帮助解题；第8页版权所有不得复制（4）采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。例1下图中正方形的边长为8厘米，CE长20厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米？分析与解：要求梯形的面积，关键是要求出上底FD的长度

3、。连结FC，三角形EFC的面积＝三角形EBC的面积－三角形FBC的面积＝8×20÷2－8×8÷2＝48（平方厘米），FD＝48×2÷20＝4.8（厘米），所求梯形的面积＝（4.8＋8）×8÷2＝51.2（平方厘米）。添加辅助线：这种方法是根据具体情况在图形中添加一条或若干条辅助线，使图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可。例2下图中，CA＝AB＝4厘米,三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米,CD的长是多少?分析与解：结合已知条件看图，很难有思路，连结DA（或连结BC

4、），就可以发现：三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米,分别加上三角形DAE得到的三角形ABD比三角形CDA的面积大2平方厘米。所以CD＝（4×4÷2－2）×2÷4＝3（厘米）。第8页版权所有不得复制例3如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米。求阴影部分的面积。分析与解：第一次等积变形：将左面的三角形变形；第二次等积变形：将右面的三角形变形；第三次等积变形：形成的新的大三角形变形；所以阴影部分的面积是10×10÷2＝50(平方厘米)。等积变形法：面积在小学阶段一向

5、是学生学习的难点。如何在教学过程中化难为易，使学生不再惧怕数学中的几何问题。“等积变形”可以减少计算上的繁琐、扫除理解上的障碍。等积变形就是面积相同，而形状不同的问题，如同底等高的三角形面积相等。第8页版权所有不得复制例4一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？分析与解：由于此三角形中只知道最长的边是12厘米，所以不能用三角形的面积公式来计算它的面积。我们可以假设有4个这样的三角形，且拼成了下图的正方形。显然，这个正方形的面积是12×12，那么，所求三角形的面积就

6、是12×12÷4＝36（平方厘米）。构造法：在许多几何问题中，由于条件不足，因而思路也不是很直观、明显，如果我们依题设条件，构造出一个新的几何图形，如：正方形、长方形等，问题即可迎刃而解。例5从一个正方形的木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条以后，剩下的长方形的面积为5平方米，问锯下的长方形木条的面积等于多少？分析与解：先将题目中的已知条件画成图，我们先看图中下面剩下的那个长方形。已知它的面积等于5平方米，它的长与宽的差为0.5米，根据“弦图”的启示，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个“弦图

7、”。右上图是一个大正方形，它的边长等于长方形的长与宽之和，中间那个小正方形的边长等于长方形的长与宽之差，即等于0.5米。这样小正方形的面积为：0.5×0.5＝0.25（平方米），那么大正方形的面积为：5×4＋0.25＝20.25（平方米）。由于4.5×4.5＝20.25，所以大正方形的边长为4.5米。这样我们便知道了剩下的长方形的长与宽之和为4.5米，而长与宽之差为0.5米，利用和差公式得原正方形的边长为：（4.5＋0.5）÷2＝2.5（米），所以锯下的长方形木条的面积为2.5×0.5＝1.25

8、（平方米）。第8页版权所有不得复制（答题时间：40分钟）1.如下图，A为△CDE的DE边上的中点，BC＝CD，若△ABC（阴影部分）的面积为5平方厘米，求△ABD及△ACE的面积。2.如图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，它们的面积相等吗？3.正方形ABCD的边长是4厘米，CG＝3厘米，长方形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？4.长方形ABCD中，长BC＝8厘米，宽AB＝5厘米。ABDE是梯形，△BDE的面积是多少？5.已知△ABC＝1，AE＝ED，BD＝BC，求阴影部