【数学】2010-2011学年同步精品学案(人教a版必修1)：第2章_基本初等函数ⅰ_§23

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1、§2.3　幂函数1．幂函数的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．幂函数的特征：(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)；(2)xα前的系数为1，项数只有1项．要注意幂函数与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的区别，这里底数a为常数，指数为变量．2．五个具体幂函数的图象与性质当α＝1,2,3，，－1时，在同一坐标平面内作这五个幂函数的图象如图所示．结合图象我们可以得到以上五个幂函数的性质如下：(1)在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)；(

2、2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；(3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴；(4)当α＝1,3，－1时，幂函数为奇函数；当α＝2时，幂函数为偶函数；当α＝时，幂函数既不是奇函数也不是偶函数．说明：对于五个具体的幂函数在第一象限的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”这一记忆的口诀．即α>0(α≠1)时的图象是抛物线型，α>1时的图象是竖直抛物线型，0<α<1时

3、的图象是横卧抛物线型，α<0时的图象是双曲线型　　　题型一　理解幂函数的图象与性质下列结论中，正确的是(　　)A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B．幂函数的图象可以出现在第四象限C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数解析　当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(

4、－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案　C　　　题型二　幂函数定义及性质的应用已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x(7＋3t－2t2)(t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．分析　关于幂函数y＝xα(α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设(

5、p

6、、

7、q

8、互质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝x的奇偶性与p的值相对应．解　∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1，∴t＝－1,1或0.当t＝0时，f(x)＝x是奇函数；当t＝－1时，f(x)＝x是偶函数；当t

9、＝1时，f(x)＝x是偶函数，且和都大于0，在(0，＋∞)上为增函数．故t＝1且f(x)＝x或t＝－1且f(x)＝x.点评　如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视．　　　　　题型三　幂函数的图象如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)A．-11D．n<－1，m>1解析　在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0

10、1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．已知x2>x，求x的取值范围．错解　由于x2≥0，x∈R，则由x2>x，可得x∈R.错因分析　上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y＝xα在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．正解　作出函数y=x2和y=的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.幂函数在高考中几进几出，在课改实验区是高考的一个考点．主要考查五种具体幂函数的图象和性质，以客观题形式出现，属于试卷中的容易题．(山东高考)设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且

11、为奇函数的所有α值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3解析　根据幂函数的定义和性质易得x＝1,3时，定义域为R且为奇函数．答案　A1．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1(x≠0)中幂函数的个数为(　　)A．1　　　　B．0　　　　C．2　　　　D．3答案　C解析　依据幂函数的定义判定，应选C.2．幂函数f(x)的图象过点，那么f(8)的值为(　　)A．2B．64C.D.答案　C解析　设f(x)＝xα(α为常数)，将点代入得＝4α，∴α＝－，f(x)＝x－，∴f(

12、8)＝8－＝.3．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象，不过原点，则m的取值是(　　)A．－1≤m≤2B．m＝1或m＝2C．m＝2D．m＝1答案　B解析　据幂函数的定义，知m2－3m＋3＝1，所以m＝1，m＝2.又图象不过原点，所